再版说明 为了帮助中学生和知识青年自学珠算知识，现将一九七 三年出版的《珠算基础知识》一书进行了修订，并纳入《青年自学丛书》。 这次再版，除将原来章节作了些修改外，还增加“开平方简算法”和“利息基本算法”两节。“开平方简算法”是根据原北京二十六中学张运筹同志介绍的算法，我们于一九七四年合写成的。 由于水平所限，书中可能存在缺点和错误，请同志们批评指正。 编 者 一九七八年三月 ==========第1页========== 目 录 一、引言… 二、常用的算盘和拨珠的方法…3 (一)常用的算盘(二)拨珠的方法… 3 三、加减法… 05 (一)加法 …5 (二）减法 …13 (三)加减法的基本练习方法…22（四)加减简法… …23 四、乘法 …28 (一）乘法口决…… …28 (二)乘法的定位方法·… 0………29 (三）一位乘法… …33 （四)二位乘法… …35 (五）多位乘法 ……40 (六)乘法的基本练习方法 …57 (七)来法简法… …57 五、除法… (一）除法口决… …64 (二）除法的定位方法 0…71 (三)一位除法… …73 (四）多位除法…心76 ==========第2页========== (五】除法的基本练习方法·………89(六)除法简法… 90 六、百分比简算法… ◆…106 七、开平方简算法… …心113 (一)笔算开平方的一般方法…113(二)珠算开平方的简算法…116 八、利息基本算法… …122 (一）计算利息的一般常识·… …122 （二）利息的基本算法… …123 九、复核多笔连续加减的简法………127附录一、乘除公式定位法… …130 附录二、双珠算法 0…135 附录三、数字的写法… 0……144 2 ==========第3页========== 一、引言 算盘，是我国人民创造发明的一种计算工具。早在十五世纪初期，算盘已经在我国社会上广泛应用了。由于算盘具有构造简单、使用灵便等优点，一直到今天仍是我们常用的 一种计算工具。解放以来，算盘的形式和计算方式，又有了改革，使珠算得到进一步发展。 算盘这个计算工具，掌握在哪个阶级手里，就为哪个阶级的利益服务。解放前，在万恶的旧社会，地主、：资本家就利用算盘来残酷地剥削压榨劳动人民。解放后，在伟大领柚毛主席和中国共产党的领导下，劳动人民翻了身，当了国家的主人，算盘成了劳动人民管理经济，为社会主义革命和建设服务的计算工具。我们要掌握算盘这个计算工具，就要树立“为革命打算盘”的思想，要为革命刻苦钴研技术，练好打算盘的本领，不断提高工作效率，为革命作出更大的贡献。 打算盘的要求是既准又快。只谁不快不能提高工作效率；快而不准，等于白忙一阵。准、快相比，准是主要的。因此，初学珠算时，应首先要求打准，准中求快。 珠算加、减、乘、除的运算是互相联系的，而乘、除法文是以加、减法为基础的。初学珠算时，要进行加、减、乘、除的全面练习，更重要的是在实践中多进行练习，就会熟能生巧。 ==========第4页========== 二、常用的算盘和拨珠的方法 (一)常用的算盘 计 点 上边 顶珠 仔3上珠（一颗作五） 梁 档 右边 左边 下珠（一颗作一）底珠 下边 我国常用的算盘有两种：一种是七珠大算盘，一种是多档式的六珠（或五珠）小算盘。上图介绍的算盘是我国多数地区使用的一种十三档的七珠大算盘。 算盘四周的框子叫做“边”，边又分“上边”、“下边”、“左边”、“右边”。中间有一条横木叫做“梁”，通过横梁贯穿着算珠的一根根细杆子叫做“档”，每档七颗算珠。梁上面的两颗算珠叫“上珠”，每颗当作“五”，最上面的一颗，有时也可临时当“十”用，叫“顶珠”；梁下有五颗算珠，叫“下珠”，每颗当作“一”，最底下一颗叫“底珠”。 算盘上没有固定的位数，为了避免弄错位数，有的算盘按“三位一节”的记数方法，在梁上每隔三位作一计位点（也 2 ==========第5页========== 可贴上白纸条作标记)。在记小数时，标记也可当作小数点。如果算盘上装有铜档时，也可利用铜档作计位的标记。 (二)拨珠的方法 珠算是拨动算珠来进行运算的，初学珠算时，必须首先学会正确的拨珠方法，这是珠算的基本动作，又叫“指法”。正确的指法是： 1.用拇指、食指和中指三个手指拨算珠（无名指和小指可以卷曲，以防带珠）。见图1。 食指 2.中指专门拨梁上面的两颗珠（往上拨或往下拨）。见图 据 2,30 图1 3.姆指和食指拨婆下面的五颗珠（往上拨用拇指，往下拨食指】、见图2、3。 33 图2 图3 为了养成正确的拨珠习惯，初学珠算时，可经常按拇指、食指和中指的拨珠分工在算盘上进行指法练习，见图4。 3 ==========第6页========== 在实际工作中，不 中 少同志还养成握笔拨珠 指 习惯，常把钢笔或铅笔 珠 梁v 横插在拇指与无名指之 食指 间，或用无名指与小指夹笔，见图5。这样对 珠 拨珠并无妨碍，而在记 大 数时，只要把笔顺直就 指 可及时书写，可省下找 图4 笔、放笔的时间。 图5 拨珠时，一律要从左向右逐档进行拨珠，如果数字中间有“0”时，就用空档表示。下图表示把最末（即最右)一档作为个位，自左向右拨上18,045的情祝。 움888888 4 ==========第7页========== 三、加减法 (一)加 法 把两个数或好儿个数合并为一个总数的方法叫“加法”。例如：86+47=133就是加法的算式，其中“+”代表“加”的符号；86是“被加数”，47是“加数”；“=”代表“等于”的符号；133就是相加的结果，叫做“和数”，简称“和”，在实际工作中也常叫“总数”。 珠算加法的次序和笔算不同。笔算是自右而左，就是从个位加起，再加十位、百位…；珠算却是自左而右，就是从最高位加起，依次加到最低位。相加时，位数必须对齐，即百位加百位、十位加十位、个位加个位，加完以后，算盘上得出的数就是和数。 珠算加法有不进位加法和进位加法两类。 1.不进位加法：指两数相加的和不足10，本档的上、下珠都够用，不必进位的加法。又可分为两种： (1)直接的加法，只在本档把上、下珠直接拨上，编成“儿上几”的口诀共九句： 一上一二上二三上三四上四五上五六上六 七上七八上八九上九 这类口诀的意思是：加数是几，就拨上几颗算珠靠在梁上。如“一上一”，就是当加数是1时，要拨上一颗下珠“六 5 ==========第8页========== 上六”，就是当加数是6时，要拨上一颗下珠和一颗上珠。 【例1】5+4=9 在算盘上先拨上被加数5，然后加上4，口诀是“四上 四”，图示如下（黑珠表示原有数，白珠是新拨的数，下同)： 加4 拔上5 上四 【例2】12+37=49 在算盘上先拨上12，然后上37，先在十位上加3，口诀是“三上三”；再在个位上联，口诀是“七上七”。图示如下： 十位加3 个位加7 988 8888 区 拨上12 上三 上七 (2)满5的加法，两数相加的和满5时，本档下珠不够加，要拨下一颗上珠，并去掉多余的下珠，编成“几下五去几”的口诀共四句： 一下五去四二下五去三三下五去二四下五去一这类口诀的意思是：相加时，必须拨下一颗当5的上6 ==========第9页========== 珠，同时拨去几颗下珠。如“三下五去二”，就是当加数是3时，要拨下一颗上珠，同时拨去二颗下珠。 【例1】4+1=5 在算盘上拨上4后，加1时，一般不用底珠，要用口诀“一下五去四”，见下图： 加1 88露 区 找上4 一下五去四 【例2】43+24=67 十位加2 个位加4 39丽 88 88と 888 88 拨上43 二下五去三 去 2.进位加法：指两数相加的和是10或超过10，必须向左档进一位的加法。也可分为两种： (1)满10的加法，两数相加的和满10时，本档的上、下珠不够用，就在本档上拨去儿颗算珠，在左-一档拨上一颗 7 ==========第10页========== 下珠，编成“几去几进一”的口诀共九句： 一去九进一 二去八进一 三去七进一 四去六进一 五去五进一 六去四进一 七去三进一 八去二进一 九去一进一 这类口诀的意思是：相加时，先在本档拨去儿颗算珠，同时在左一档拨上一颗下珠。如“三去七进一”，就是当加数是3时，要在本档拨去一颗当5的上珠和二颗下珠，同时在左一档拨上一颗下珠，即向左进一位（代表10)。 【例1】9+1=10 在算盘上拨上9后，加1时，一般不用底珠，要用口诀“一去九进一”，见下图： 加1 8Σ 1 拨上9 去九进 【例2】37+89=126 十位加8 个位加9 38Σ 9888 巳只0 拨上37 八去二进 九去一进 8 ==========第11页========== （2）满10破5的加法，两数指如的和超过10，进位时，本档下珠不够“去几”的数，就要破5的方法，拨去上珠，加添下珠，再向左一档拨上一颗桨，编成“儿上几去 五进一”的口诀共四句： 六上一去五进一 七上一去五进一 八上三去五进一 乳上图去五进一 这类口诀的意思恿：当本档上的被数是5或超过5，而加数是6以上时，就必须在卒档拨上儿颗下珠，同时拨去 一颗当5的上珠，再在左一档拨上一颗下珠。如“八上三去 五进一”，就是当加数是8时，要在本档拨上三颗下珠，同时拨去一颗上珠，再在左一档拨上一颗下珠，即向左进一位(代表10)。 【例1】5+6=11 在算盘上拨上5后，加6时，口诀是“六上一去五进一”，见下图： 加6 Σ 888至 O 拨上5 六上一去五进一 (例2】65+79=144 9 ==========第12页========== 十位加7 个位加9 88 382 88 00000 88 0오 拨上65 上二去五进 上四去五进 珠算加法口诀是按照拨珠的动作编成的，共26句。应用口诀计算加法，可以帮助我们养成正确的拨珠习惯，因而就能打得又准又快。现根据加法口诀的雅易程度，分类列表如下： 口 加 决 不进位加法 进 位 加 法 类 加数 直接的 满5的 满10的 满10破5的 1 一上一 一下五去四 一去九进一 2 二上ニ 二下五去三 二去八进一 3 三上三 三下五去二 三去七进一 四上四 四下五去一 四去六进一 5 五上五 五去五进一 6 六上六 六去四进一 六上一去五进一 7 七上七 七去三进一 七上二去五进一 8 八上八 八去二进一 八上三去五进一 9 九上九 九去一进一 九上四去五进“ 10 ==========第13页========== 每句口诀的第一个字，是指要加的数，后面的字是说明拨珠动作。“上儿”表示只把上珠或下珠直接拨上，“下五”表示拨下一颗上珠，“去儿”表示拨去上珠或下珠，“进一”表示在左一档拨上一颗下珠。 下面再举例说明综合运用各类加法口诀的算法： 【例1】154+372=526 在实际计算中，为防止错位，常利用算盘上的计位点定位，把被加数个位放在计位点的左一档，见下图： 计 个位 位点 百位加3 효을웅88후 3888888 匪 拨上15 三 向百位“进一” 十位加7 (不用底珠) 个位加2 움88유우8 후후웅8후 罐 姜星 上二去五进 一下五去四 二下五去三 11 ==========第14页========== 【例2】256+784=1,040 个位 位点 百位加7 8을웅웅8 88웅8 拨上256 七 十位加8 百位进一 千位进一（不用底珠） 个位加4 3393 8888988 八上三去五 去九进 去六进 ：在实际工作中，加法用得比较多，并且常常需要把许多位数的很多数字加在一起（即多位数的连加），在算盘上拨多位数时，一般是分节看数，分节拨珠。如467,328一数就可分两次拨，先看467一节，马上拨珠，将要拨7时，便回头看328一节，同时右手接连拨珠。初学珠算加法时，就要养成这种分节看数和拨珠的习惯，切忌看一位数拨一档算珠，以免降低速度和出错。 12 ==========第15页========== 在算盘上算小数加法和算整数加法完全一样，只要注意对齐小数位数就行。 例如：12.45+3.5=15,95 计算时，可利用算盘上的计位点当作小数点，见下图：代 点 加3 加.5 88후 움88웅웅 움88웅웅웅8 拨上12.45 五 下 去 实际计算中，为了简化，对较大的数，也常以“万”或 “U”做计算的单位，把“万”或“亿”以下的数用小数来表示。 划以“方”作为计算单位时，15,600元就写作1.56万元，156,000斤就写作15.6万斤。 (二)减法 诗算一个数和另一个数相差多少的方法叫做“减法”。例如：133一86=47就是减法的算式，其中“-”代表“减”的符号，133是“被减数”，86是“减数”，47就是减下来的结果，叫做“差数”，简称“差”。 减法是加法的还原，人们往往用它来验算加法的结果是 13 ==========第16页========== 否正确。 珠算减法的次序和加法一样，也是从左到右，从最高位减起，减完后，算盘上得出的数就是差数。 珠算减法有不退位减法和退位诚法两类。 1.不退位减法：指被减数的各位在减去减数时，都是够减的，不要向上“位“退十”（即借1）的减法。又可分为两种： (1)直接的减法，只在本档直接把上珠或下珠拨去，编成乎几去几”的口诀共九句： 一去一二去二三去三四去四五去五六去六 七去七八去八九去九 这类口诀的意思是：减数是儿，就拨去几颗靠梁的算珠。如“一去一”，就是当减数是1时，要拨去一颗下珠；“六去六”，就是当减数是6时，要拨去一颗下珠和一颗当5的上珠。 【例1】9-4=5 在算盘上先拨上被减数9，然后减去4，口诀是“四去 四”，见下图： 减4 888은 名& 按上9 四去四 【例2】49-37=12 14 ==========第17页========== 在算盘上先拨上49，然后减去37，先在十位上减3，口快是“三去三”；再在个位上减7，口决是“七去七”。见下图： 十位诚3 个位减7 8厘 89乎 女 拨上49 三去三 去七 （2)破5的减法，本档虽然够减，但下珠不够减，必须拨去上珠破5，并相应地把破5后多减的数拨下珠补上，编成“几上几去五”的口决共四句： 一上四去五二上三去五三上二去五四上一去五这类口决的意思是：相减时，必须拨上儿颗下珠，同时拨去一颗当5的上珠。如“三上二去五”，就是当减数是3时，要拨上二颗下珠，同时拨去一颗上珠。 【例1】5-1=4 在算盘上拨上5后，减1时，用口决“一上四去五”，见下图： 减1 8 888 38 000-0 拨上5 上四去五 5 ==========第18页========== 【例2】67-24=43 十位减2 个位减4 8g亚 8889 严 拨上67 上三去 四上一 去五 2.退位减法：指本档的数不多减，须从上一位“退十”(即从左一档借1)才够减的减法。在左一档“退十”相诚后，把余数直接拨在本档上编成“几退十还几”的口诀共九句： 一退十还九 二退十还八 三退十还七 四退十还六 五退十还五 六退十还四 七退十还三八退十还二·九退十还一 这类口诀的意思是：相减时，必须从左一档借1，同时把余数拨在本档上。如“三退十还七”，就是当减数是3时，要从左一档借1（即“退十”)，并在本档拨上一颗当5的上珠和二颗下珠。 【例1】10-1=9 在算盘上拨上10后，减1时，用口诀“一退十还九”，见下图： 16 ==========第19页========== 减1 888 39E -00000 9000-0 拨上10 退十还九 【例2】126-89=37 十位减8 个位减9 8正 S88R 0100 8응 拨上126 退十还 退十还 在应用退位减法口决时，还需要注意下列几种情况： (1)“退十”时，如果上一位恰好是“0”，没有算珠，就要用隔位退位的办法（即再向上一位去借）。 【例1】100-…1=99 百位去1 个位减1 88 正 食-00000 39 拨上100 退还 十 十还九 ==========第20页========== 【例2】1,002-4=998 千位去1 8후 웅8 용愛 生2200 拨上1,002 逃车 百位去1 个位诚4 온용8 8 退还 四十还 (2)“退十”时，如上一位恰好是“5”，就要结合破5的减法口诀进行计算。 例如：50-2=48 个位减2 888 B 000 拨上50 上四去五二退十还八 18 ==========第21页========== （3)“退十”时，还常结合满5的口诀进行计算。例如：11一6=5 德减6 8888 28웅 拨上11 六退十还四（四下五去一） 珠算减法口诀同样也是按照拨珠的动作编成的。现根据减法口诀的难易程度，分类列表如下： 口 不 退 位 减 法 退 位减法 决萨老类别 直接的 破 的 退 10的 1 一去一 一上四去五 一退还九 2 二去二 二上三去五 二退十还八 3 三去三 三上二去五 三退十还七 4 四去四 四上一去五 四退十还六 5 五去五 五退十还五 6 六去六 六退十还四 7 七去七 七退十还三 8 八去八 八退十还二 9 九去九 九退十还一 19 ==========第22页========== 每句口谈的第一个字，是指要减的数，后面的字是说明拨珠动作。“去儿”表示只把上珠或下珠直接拨去，“上儿”表示把下珠拨上，“退十”表示在左一档拨去一颗下珠，“还几”表示在左一档“退十”后本档加上几颗算珠。 下面再举例说明综合运用各类减法口诀的算法。 【例1】315-267=48 计 个位 位点 百位减2 888888 8888후 趯 拔上315 二去二 十位减6 个位减7 8888888 888유웅8 六退十还四（四下五去一） 一上四去五)退十还三 20 ==========第23页========== 【例2】1,234-738=496 计 个位 位点 百位减7 움8888 88웅8888 拨上1,234 七退十还三（三下五去二） 十位减3 个位减8（要隔位退位） 3888888 8은웅웅8 三去三 上四去五退十还二（二下五去三） 珠算小数减法和加法一样，必须对齐小数位数。 21 ==========第24页========== 例如：15.95一3.5=12.45 代 数 减3 诚.5 88우웅웅 888유웅웅후 88888空 富騷 拨上15.95 三 五 索 一去五 (三)加减法的基本练习方法 珠算加减法的应用最广，而且是各种算法的基础，因此，必须熟练地掌握珠算加减法的运算技术。要提高熟练程度，只有多练，练习时，不要急于求成，要正确地拨算珠，应用口诀进行计算。要领会口诀的道理，不必死背口诀，这样经过反复练习，就能得心应手，达到既推又快的目的。 下面介绍几种常用的加减法的基本练习方法，可以帮助熟习指法和口诀，能随时自行练习。 1.三盘成（或三盘清)：先在算盘上拨123,456,789，再从左到右各档都照原数加上，即用“见珠打珠”的方法，连拨 三盘，最后再加9，就得987,654,321。也就是：123,456,789+123,456,789+246,913,578+493,827,156+9=987,654,321。这是专练加法的。 2.七盘成（或七盘清)：先在算盘上拨123,456,789，再22 ==========第25页========== 从左到右还次加上123,456,789，连加七次。也就是把123,456,789连续拨八次，最后再加9，得987,654,321。再从这个总数中先域去9，然后连减八次123,456,789，恰好减完。 3.打百子：就是从1起挨次加2、加3一直加到100。加到36时是666；加到77时是3003；加到100时，总数是5,050。然后再从5,050当中挨次减1、减2…一直减到100，正好减完。 4.加625：连加16次，得总数10,000；然后再在总数中减去625，直到减完为止。 5.加6,875：连加10次，得总数68,750；然后再在总数中减去6,875，直到减完为止。 6.加16,835：连加3次，得总数50,505；连加6次，得总数101,010；连加9次，得总数151,515；连加12次，得总数02，c20。然后再在总数中减去16,835，直到减完为止。 另外，还可利用黎表上的数字来进行加、减运算，这是在实爱中进行练习的方法。 (四)加减简法 1.凑整热减法 当抛数或减数接近整数（即10的乘方数)时，用凑整数(即1心的乘方数)和补加数来进行加、减运算的方法，就叫做“凑整加减法”，或叫“补加数加减法”。例如998这个数接近整数1,000(998和1,000相差2，即998+2=1,000，这里，2就叫做998的补加数)，就可用凑整数1,000和补加数2来进行运算。 23 ==========第26页========== 举例图示如下： ：【例1】10,364+9,998=10,364+10,000-2=20,362 万位加1 个位减补加数2 38888 8888웅후 8888웅 9%.8c 拨上10,3 上 去 【例2】3,832-994=3,832-1,000+6=2,838 千位减1 个位加补加数6 89Σ 拨上3,832 六 去 夫 从以上图例可以看出，用凑整加减法来运算，可以简化拨珠动作，提高计算速度，但必须用心算来帮助，要养成习惯，才能又准又快。 2.倒减法 在计算往来帐时，各户的存欠数有时存、有时欠，常会发生减数大于被减数的情况，为了计算上的简便，遇到这种情况不必另行拨珠，可把较小的被减数留在算盘上，利用借1的方法，加大被减数后，减去较大的减数，算出应得的差 24 ==========第27页========== 数。这种以较小的数来倒减较大的数的方法，就叫“倒减法”。 【例1】21,638-34,279+28,670-5,600=10,429 不够减34,279 9888888 93388Σ 3 拨上21,638 十万位上加1（在上一位暂借1) 减34,279 加28,670 39888F 339正 8 88응 121,638 87,359 34,279 +28,670 87,359 116,029 减5,600 후88웅88 888 88只 十万位去1（还哲借的1） 16,029 5,600 10,429 25 ==========第28页========== 【例2】45,076+8,521-69,548-4,834=-20,785 加8,521 8888988 8용우g2은 拔上45,976 45,076 +8,521 53,597 不够减69,548 减69,548 888웅웅 十万位土加1（在上一位暂借1) 153,597 69,548 84,049 减4,834 88838 84,049 4,834 79,215 补加数20,785 借1后，算盘上的结果79,215不够还，还差20,785（即100,000-79,215),它是79,215的补加数，成为“负数”，用26 ==========第29页========== “一”的符号表示，即一20,785。用此法算往来帐的结余时，原是结存，到此就是结欠；反之，原是结欠，到此就是结存。 以上两例说明，“倒减法”可以随时以较小的数来减较大的数，不必另行拨珠计算，就能提高效率。但在上一位借1时，必须注意在哪一档上借的1，到够还时，就在哪-一档去1，要随借随还，如不够还，算盘上算出结果的补加数才是所求的数。因此，必须养成心算凑整，求一数的补加数的习惯。 27 ==========第30页========== 四、乘法 乘法就是同一个数连加几次的简便算法。例如：6×7=42就是乘法的算式（也就是把6连加7次)，其中“×”代表“乘”的符号，6是“被乘数”，7是“乘数”（根据乘法的原理，被乘数和乘数可以互相调换，乘得的结果一样)，42就是乘得的结果，叫做“积数”（简称“积”）。 珠算乘法根据乘数的位数多少，可分为一位乘法、二位乘法和多位乘法三种。为了运算方便起见，一般把位数较少的一个数作为乘数。 (一)乘法口诀 在算盘上算乘法，和笔算一样，也是运用乘法“九九歌决”来计算的，共45句。由于口决的各个乘积有二位的，也有 一位的，为了防止运算加错档次，都当二位看待，凡乘积是 一位的，都在乘积前加上一个“0”，特列表如下： 28 ==========第31页========== 一01 二02ニ二04 三03二三06三三09 四04二四08三四12四四16 -五05二五10三五15四无2五玉.2 六06二六12三六18六24五六39六六6 ー七07ニ七14三七218五セsセ429 一八03二八16三八24四八32五八40六八48七八56八八64 九09二九18三九27四九36五九45六九54七九63八九72九九81 每句口诀的前两个字是指乘数和被乘数，后面的阿拉伯数字是积数。乘法口诀并不表示拨珠动作，运算时就是把算出的结果加上，因此必须和珠算加法口诀结合进行。 (二)乘法的定位方法 珠算乘法运算完毕，在算盘上的数字便是积数，由于算盘上以空档表示“0”，而运算过程中发生的0和空档是分不清的。如625×748和6.25×7.48算盘上积数的有效数字（指头和尾不带0的数字)都是4675，实际上前者的积数是467,500,后者是46.75，这就必须掌握乘法的定位方法。 珠算乘法的定位，以乘数的位数为准，在整数乘法中，只要数一下乘数有儿位，被乘数个位的右面第几档就是积数 出 的个位。在运算时，可先看乘数有几位，就在被乘数的个位后面空几档。如乘数是一位数，就把算盘最右档的前一档作 29 ==========第32页========== 为被乘数的个位档；乘数是二位数，就把算盘最右档的前二档作为被乘数的个位档，以此类推。乘得积数后，.算盘上最右一档就是积数个位（也可选定一个计位点或铜档作定位的标记)。 在小数乘法中，可暂把被乘数和乘数都当作整数看待，但当被乘数或乘数是纯小数，而小数点后带“0”时，只取有效数字，如0.0003就当一位整数，0.034就当两位整数，余此类推。乘得积数后，再看被乘数和乘数里共有几位小数，然后从所得积数的最末一位（最末一位是“0”也要计算在内)向左数几位小数后，左边第一档就是积数的个位。也就是照笔算小数乘法定积数小数位的方法办理，被乘数和乘数里共有几位小数，积数就取几位小数。 举例图示说明如下： 【例1】408×300=122,400 乘数300是三位数，如以算盘最右档作为积数的个位档，就在被乘数个位后面空三档，乘得积数得122,400。见下图。 空三档 8888웅888 88889888 雀 数个位 30 ==========第33页========== 【例2】408×0.0003=0.1224 乘数0.0003暂当一位整数看待，.就在被乘数的个位后面空一档，乘得积数后，先看乘数是四位小数，就从最末一位向左数四位小数，得0.1224。见下图。 空一档 8888웅후 88888 -00000 O 积 数四位小数 【例3】40.8×0.3=12.24 被乘数和乘数都暂当整数看待（乘数0.3当一位整数看待)，就在被乘数末位后面空一档，乘得积数后，由于被乘数和乘数里共有两位小数，就从最末一位向左数两位小数，得12.24。见下图。 空一档 88889 888888 两位 数个位小数 31 ==========第34页========== 如乘数有两个以上的连乘法也可用同样的方法计算。‘例如：38×0.027×118=121.063 空五档 후우웅우유우웅8888후 金 27×38 =1026 空三档 88웅88888웅88후 118×1026 88888웅 连乘积121.068 三位小数 乘数0.027和118当作五位整数看待，就在被乘数个位后面空五档。先算38×27，得1026；再以1026×118，得121068。由于乘数里有三位小数，就从最末一位向左数三位小数，得 32 ==========第35页========== 121.068。 这种在算盘上数档位的定位方法就称为“数档定位法”。 (三)一位乘法 一位乘法就是乘数只有一位的乘法。在算盘上运算时，可在算盘的右边空一档放被乘数（即把算盘最右档的前一档作为被乘数的个位档)。乘数可放在算盘的左边，与被乘数的最高位（也叫“头位”）隔开儿档（为了不影响运算速度，习惯上常把乘数默记在心里，并不放在算盘。初学珠算时，应养成这种默记乘数的习惯)。乘的顺序和笔算一样，也是从右到左，即由乘数乘被乘数的未位起，依次乘到被乘数的最高位为上。 亵积钓记法，每乘一位，就把被乘数本档上的数字改成乘积的子位数，个位数拨在右一档上（如乘积的十位数是0,应先发去本档数字，以空档代0，个位数仍在右一档上)。所有被乘数都乘过之后，算盘上的结果便是积数。这种乘法叫做“不隔位爽法”，具有简便易学等优点，是实际工作常的方法。 举例图示谎湖如下： 【例1】408×3=1,224 算时，先在算盘右边拨上被乘数40$，被乘数个位右边应留一空档，在被乘数头位左边隔开二档拨上乘数3。见图1。 先以乘数3去乘被乘数个位8，口诀“三八24”，把本档8改为2，并在右一档加上4。见图2。 33 ==========第36页========== 被乘数十位是0，不用乘。再以乘数3去乘被乘数头位(即百位)4，口诀“三四12”，把本档4改为1，并在右一档加上2，得乘积1,224。算盘最右一档即乘积的个位档。见图3。 商 囊 个 档 图우8888图88888우8 图8888888 3×8 3×41 积 数 三八24 三四12 个 【例2】152×4=608 拨上被乘数152和乘数4。见图1。 先以乘数4去乘被乘数个位2，口诀“二四08”，拨去本档2，在右一档加上8。见图2。 再以乘数4去乘被乘数十位5，口诀“四五20”，把本档5改为2，因乘积的个位数是0，右一档不加数字。见图3。 最后，以乘数4去乘被乘数头位1，口诀“一四04”，拨去本档1，在右一档加上4，得乘积603。见图4。 34 ==========第37页========== 被乘数 空 委 位档 图우후후8웅후 图 우우우오웅 4×2 二四08 图움웅웅 4×5 4×1 四五20 一四04 积数个位 (四)二位乘法 二位乘法就是乘数只有二位的乘法。运算时，可在算盘的右边空二档放被乘数（即把算盘最右档的前二档作为被乘数的个位档)，放乘数的方法和一位乘法相同。 乘的顺序是：先用乘数第二位（即个位）去乘被乘数的末位，再用乘数第一位（即十位）去乘被乘数的末位；乘完被乘数末位后，仍先用乘数第二位，再用乘数第一位，依次去乘被乘数的各位，直到乘完被乘数的最高位为止。 35 ==========第38页========== 乘积的记法，用乘数第二位去乘被乘数的某一位时，乘积的个位数就拨在被乘数本位右边第二档，十位数拨在被乘数本位右一档上；但用乘数第一位去乘被乘数的某一位时，就把被乘数本档上的数字改成乘积的十位数，个位数拨在右 一档上（和一位乘法相同》 如果被乘数的某一位还没有同乘数的第一位乘过，而在被乘数的右一挡乘积已有9或满10或超过10，这时不能进位，应使用底珠、顶珠，或悬珠（就是把上珠悬在中间，既不靠上边，也不靠梁，又不和靠粱的另一颗上珠接触；惑珠当10)来暂记。等到同乘数的第一位乘过后，才能把右一档的数进位。 举例图示说明如下： 【例1】23×43=989 先在算盘右边拨上被乘数23，被乘数个位右边应空二档；在算盘左边拨上乘数4，乘数个位和被乘数头位可隔开 二档。见图1。 先用乘数个位3去乘被乘数末位3，口诀“三三09”，在被乘数末位右面第二档加上9。见图2。 再用乘数十位4去乘被乘数未位3，日诀“三四12”，把被乘数未位3改为1，右一档加上2。见图3。 然后，用乘数个位3去乘被乘数头位2，口诀“二三06”，在被乘数头位右面第二档加上6。见图4。 最后，再用乘数十位4去乘被乘数头位2，口诀“二 四08”，拨去被乘数头位2，在右一档加上8，得乘积989。见图5。 36 ==========第39页========== 乘数个被乘数个空二档 图 图8888888웅 3×3 三三09 图움8후 图899888T 4 4×3 3×2 三四12 二三06 888은 8 5 4×2 二四08 效 位 【例2】189×98=18,522本例应使用底珠和顶珠。 拨上被乘数189和乘数98。见图1。 37 ==========第40页========== 先用乘数个位8去乘被乘数末位9，口诀“八九72”，在被乘数末位右一档加上7，右面第二档加上2。见图2。 再用乘数十位9去乘被乘数末位9，口诀“九九81”，把被乘数未位9改为8，右一档加上1。见图3。 然后，用乘数个位8去乘被乘数十位8，口诀“八八64”，在被乘数十位右一档加上6，右面第二档加上4，这时，被乘数十位的右一档上虽已超过10，但不能进位（因为被乘数 十位8还没有同乘数的第一位乘过)，应使用底珠和顶珠。见图4。 再用乘数十位9去乘被乘数十位8，口诀“八九72”，把被乘数十位8改为7，·右一档加上2。见图5。 最后，用乘数个位8去乘被乘数头位1，口诀“一八08”，在被乘数头位右面第二档加上8。见图6。 再用乘数十位9去乘被乘数头位】，口诀“一九09”，拨去被乘数头位1，右一档加上9，得乘积18,522。见图70 乘数 被乘数 空 位 位档 图 우온8 图88웅웅 8×9 八九72 38 ==========第41页========== 图 图 美 3ò0 으g5 9×9 と8 九九81 八八64〔戏使消腰菜斜底珠，术能进位) 图8T8888188 图 333乎 6 688 8 9×8 8×1 八九72 一八08 图온온두웅후후 7 9×1 积 一九09 个位 【例3】7.5×0.014=0.105 小数乘法，可暂把被乘数和乘数当整数看待，本例乘数 0.014,有两位数字，可当整数二位乘法来进行运算。拨上被乘数和乘数，被乘数未位右边空二档。见图1。先用乘数第二位4去乘被乘数末位5，口诀“四五20”，再用乘数头位1去乘被乘数末位5，口诀“一五05”。见图2。 39 ==========第42页========== 然后，用乘数第二位4去乘被乘数头位7，口决“四七28”,最后，用乘数头位1去乘被乘数头位7，口决“一七07”，得积数1050，由于被乘数和乘数里共有四位小数，应从最末 一位向左数四位小数，得0.105。见图3。 乘数 被乘数空二档 图 98888888 图 888우웅8 司 4×5 1×5 四五20 一五05 图s8889888 4×7 四位小数 1×7} 四七28 一七07 积数0.105 (五)多位乘法 多位乘法是乘数有三位或三位以上的乘法。运算时，如乘数是几位，被乘数末位后面就空几档（即乘数三位，空三档；乘数是四位，就空四档，以此类推)。 40 ==========第43页========== 珠算多位乘法，由于乘的顺序不同，°具体的运算方法也不同，其中“留头乘法”是实际工作中广泛采用的方法，本书就主要介绍这种方法。 留头乘法就是先用乘数左起第二位去乘被乘数的末位，再用乘数左起第三位、第四位…去乘被乘数的末位，最后才用乘数的最高位（即左起第一位)去乘被乘数的末位，这样，依次去乘被乘数的其它各位后便得出积数，所以叫做留头乘法。因为留头乘法先从乘数第二位数字乘起，所以又叫“穿心乘法”。乘的瓶序如下图： 乘数 被乘数 乘积的记法，乘数是第几位，乘积的个位就放在该被乘数本位后面的第儿档上（乘积的十位数放在个位数的左一档上)。 这种乘法的优点是，在运算中容易认清被乘数和积数，能减少差错。为了避免在边乘边加时错档，开始运算时，可用左手食指点在被乘数个位档上，等到本档被乘数乘完后，再点在被乘数十位档上，以下类推。 举例图示说明如下： 【例1】625×748=467,500 先在算盘右边拨上被乘数625，被乘数个位右边留三位空档；在算盘左边拨上乘数748。见图1。 第一步：先用乘数第二位4去乘被乘数末位5，口诀 41 ==========第44页========== “四五20”，从被乘数末位右一档起加上乘积20。见图2。 再用乘数末位8去乘被乘数末位5，口诀“五八40”，从被乘数末位右面第二档起加上乘积40。见图3。 然后，用乘数头位7去乘被乘数末位5，口诀“五七35”，拨去被乘数末位5，从本档起加上乘积35。见图4。 第二步：先用乘数第二位4去乘被乘数第二位2，口诀“二四08”，在被乘数第二位右面第二档加上乘积8。见图5。。再用乘数末位8去乘被乘数第二位2，口诀“二八16”，从被乘数第二位右面第二档起加上乘积16。见图6。· 然后，用乘数头位7去乘被乘数第二位2，口诀“二七14”，把被乘数第二位2改成乘积的十位数1，在右一档加上个位数4。见图7。 第三步：先用乘数第二位4去乘被乘数头位6，口诀“四六24”，从被乘数头位右一档起加上乘积24。见图8。 再用乘数末位8去乘被乘数头位6，口决“六八48”，从被乘数头位右面第二档起加上乘积48。见图9。 最后，用乘数头位7去乘被乘数头位6，口诀“六七42”，把被乘数头位7改成乘积的十位数4，在右一档加上个位数2,便得乘积467,500。见图10。 数 数 位 位空三档 图 888888988 图 움웅88웅888 2 4×5 42 四五20 ==========第45页========== 0000C0000c1 00- 000c( 展效←过 00000 学 0800-0 -8s00C -0000000- -00c00 0000000-00 C 000-00817 00e0- C 9! 00-000 0000C -●00 00-000 -000 00--000 00000 0-00-00 N 8-0000 0000 00 le-(00 00●000-0 -00000 7 x 8 -0000098 -00000 -00000 -00000 00000 -00000 -00000 00 000-00 000-00 d00-00 00ee-g 0000-0 0-e e9-000000 00-000l a0--00 图 冠 欧 盈2 0000 00000이 00000이 00 00000 0 10000-0 0 -00000 00000 000 -000 e-000 -00000 -000 -00000 -0 6-●000- 0000-0 -000 100-00-000 90E1 e-6000 0-0000 -0000lc-e 0000 0-0C00 【中 -00000 00- -00000 -00c00 -00000 -00000 -00000 00- -00000 -6 -00000 998-00 -00 096-0018es-0 e000-0 -0 0080-0 e 2e-000-000 0-e88-000lio-o 38-00 0 图。 脑M ==========第46页========== 【例2】987×998=985,026本例应使用顶珠和悬珠。 拨上被乘数987和乘数998。见图1。 第一步：先用乘数第二位9去乘被乘数宋位7，口诀“七九63”，从被乘数末位右一档起加上乘积63。见图2。 再用乘数末位8去乘被乘数末位7，口诀“七八56”，从被乘数末位右面第二档起加上乘积56。见图3。 然后，用乘数头位9去乘被乘数末位7，口诀“七九63”，把被乘数末位改成乘积的十位数6，在右一档加上个位数3。见图4。 第二步：先用乘数第二位9去乘被乘数第二位8，口诀“八九72”，从被乘数第二位右一档起加上乘积72，相加后被乘数第二位右一档虽已超过10，但不能进位（因为被乘数第 二位8还没有同乘数的头位乘过)，应使用顶珠。见图5。 再用乘数末位8去乘被乘数第二位8，口诀“八八64”，从被乘数第二位右面第二档起加上乘积64。见图6。 然后，用乘数头位9去乘被乘数第二位8，口诀“八九72”,把被乘数第二位8改成乘积的十位数7，在右一档加上个位数2。见图7。 第三步：先用乘数第二位9去乘被乘数头位9，口决“九九81”，从被乘数头位右一档起加上乘积81，相加后被乘数头位右一档虽已超过10，但被乘数头位还没有和乘数末位乘过，所以还不能进位，而这时被乘数头位右一档上的算珠又不够用，因此，应使用悬珠，用顶珠（上不靠边，下不靠下面的一颗上珠)悬起来当10。见图8。 再用乘数末位8去乘被乘数头位9，口诀“八九72”，从 44 ==========第47页========== 被乘数头位右面第二档起加上乘积72。见图9。 最后，用乘数头位9去乘被乘数头位9，口诀“九九81”，把被乘数头位改成乘积的十位数8，在右一档加上个位数1,拨去悬珠，在左一档“进1”，便得积数985,026。见图10。 乘数个 被乘数 位空三挡 图 图88웅웅웅웅8 9×7 七九63 图우8웅웅을웅웅 3 4 8×7 9×7 七八56 七九63 8889888g988图2온온우온：옹우2 5 o 9×8 8×8 八九72 八八64 (要州顶珠) 45 ==========第48页========== 图 883898亚 图 은후후웅웅웅 9×8 9×9 八九72 力L81 (要用系踩，当10) 89x 图 9 10 8×.9 9×9 积 八九72 九九81 个位 3拨去悬珠) 【例3】1,289×4,056=5,228,184 本例乘数4,056第二位是0，就从第三位乘起。拨上被乘数1,289和乘数4,056。见图1。 第一步：先用乘数第三位5去乘被乘数末位9，口决“五九45”，从被乘数末位右面第二档起加上乘积45。见图2。再用乘数末位6去乘被乘数末位9，口决“六九54”，从被乘数末位右面第三档起加上乘积54。见图3。 然后，用乘数头位4去乘被乘数米位9，口决“四九36”，把被乘数末位9改成乘积的十位数3，在右一档加上个位数6。见图4。 46 ==========第49页========== 第二步：先用乘数第三位5去乘被乘数第三位8，口诀“五八40”，从被乘数第三位右面第二档起加上乘积40。见图50 再用乘数末位6去乘被乘数第三位8，口诀“六八48”，从被乘数第三位右面第三档起加上乘积48。见图6。 然后，用乘数头位4去乘被乘数第三位8，口诀“四八32”,把被乘数第三位8改成乘积的十位数3，在右一档加上个位数2。见图7。 第三步：先用乘数第三位5去乘被乘数第二位2，口诀“二五10”，从被乘数第二位右面第二档起加上乘积10。见图80 再用乘数末位6去乘被乘数第二位2，口诀“二六12”，从被乘数第二位右面第三档起加上乘积12。见图9。 然后，用乘数头位4去乘被乘数第二位2，口诀“二四08”,拨去被乘数第二位2，右一档加上乘积的个位数8。见图10。 第四步：先用乘数第三位5去乘被乘数头位1，口诀“一五05”，在被乘数头位右面第三档加上乘积的个位数5。见图11。 再用乘数末位6去乘被乘数头位1，口诀“一六06”，在被乘数头位右面第四档加上乘积的个位数6。见图12。 最后，用乘数头位4去乘被乘数头位1，口诀“一四04”，拨去被乘数头位1，在右一档加上乘积的个位数4，便得积数5,228,184。见图13。 47 ==========第50页========== 乘数个位 被乘数个 位 空四档 图8988998889893 屋全暑美 888은88웅 5×9 五九45 후온우8웅우후 自果最 6×9 六九5·4 图우우우우우우388 星港 4×9 四九36 48 ==========第51页========== 6 0Iニ Z×9 法樓 8 8888388888영웅图 38 8X五 只85 台888888888888图 8予 8×9 88E383935389 0市f竖 g×9 名888885688 ==========第52页========== 图9우후우후우으우웅 自 16×2 二六12 图889838888888 4×2 二四08 图388898888888 5×11 一五05 图우우우우후후웅을우 赶 6×1 =六06 50 ==========第53页========== 图 88을8웅88웅8웅8 3 4×1 积 一四04 个位 【例4】8.64×62.5=540 本例是小数乘法，乘数62,5有三位数字，可当整数三位乘法来进行运算。 拨上被乘数和乘数，被乘数右边空三档。见图1。第一步：先用乘数第二位2去乘被乘数末位4，口决“二四08”，再用乘数末位5去乘被乘数末位4，口诀“四五20”；然后，用乘数头位6去乘被乘数末位4，口诀“四六24”。见图2。 第二步：先用乘数第二位2去乘被乘数第二位6，口诀“二六12”；再用乘数末位5去乘被乘数第二位6，口诀“五 六30”；然后，用乘数头位6去乘被乘数第二位6，口诀“六 六36”。见图3。 第三步：先用乘数第二位2去乘被乘数头位8，口诀“二 八16”；再用乘数末位5去乘8，口诀“五八40”；最后，用乘数头位6去乘8，口诀“六八48”，得积数540000。由于被乘数和乘数里共有三位小数，应从最未位向左数三位小数，得540。见图4。 51 ==========第54页========== 乘数 被乘数（空三档） 第一步： 图 우우우온오후후온후 图 8웅우8우웅8 2×4 5×4 6×4 二四08 四五20 四六24 第二步 第三步： 图 88889图 우웅우8888 3 2×6 2×8 取三位小数 5×6 5×8 6×6 6×81 二六12 二八16 五六30 五：八40 六六36 六八48 积数540 多位乘法，除“留头乘法”外，还有“破头乘法”和“掉尾乘法”。 破头乘法是先从乘数最高位数字和被乘数的末位数字乘起，被乘数每一位数字和乘数的各位相乘时，一开始就要破本位，所以叫做“破头乘法”。乘的顺序如下图： 52 ==========第55页========== 三 现以625×748为例图示说明如下（图示从简）： 拨上被乘数和乘数，‘被乘数个位右边空三档（与留头乘法相同)。见图1。 第一步：先用乘数头位7去乘被乘数末位5，口诀“五 七35”，把被乘数末位改成乘积的十位数3，在右一档加上个位数5；再用乘数第二位4去乘被乘数未位5，口诀“四 五20”，从被乘数末位右一档起加上乘积20；然后，用乘数未位8去乘被乘数末位5，口诀“五八40”，从被乘数末位右面第档起划上乘积40。见图2。 第二步：先用乘数头位7去乘被乘数第二位2，口决“二元1”，把被乘数第二位改成乘积的十位数1，在右一档加二个位数4；科用乘数第二位4去乘被乘数第二位2，口决二叫08”。在被莱数第二位右面第二档加上乘积8；然后用数末位8去乘被乘数第二位2，口决“二八16”，从被乘数第二位右面第二档起加上乘积16。见图3。 第三步：先用乘数头位？去乘被乘数头位6，口诀“六 七42”，靶被乘数头位6改成乘积的十位数4，在右一档加上个位数2；再用乘数第二位4去乘被乘数头位6，口诀“四六24”，从被乘数头位右一档起加上乘积24；最后，用乘数末位8去乘被乘数头位6，口决“六八48”，从被乘数头位右面第二档起加上乘积48，便得积数467,500。见图4。 53 ==========第56页========== 秉 被秉数 个位 第一步： 位（空三档） (先破被乘数末位5) 图899888888图오우웅후온웅 龜 7×5 4×5 8×5 五七35 四五20 五八40 第二步： 第三步： (先破被乘数第二位2) (先破被乘数头位6) 图 图오웅8온388 7×2 7×6 4×2 4×6 8×2 8×6 个位 二七14 六七42 二四08 四六24 二八16 六八48 积数467,500 掉尾乘法是先从乘数末位数字和被乘数的末位数字乘起，被乘数每一位数字一开始就和乘数的末位数字相乘，所以叫做“掉尾乘法”。乘的顺序如下图： 54 ==========第57页========== 现仍以625×748为例图示说明如下（图示从简)：拨上被乘数和乘数，被乘数个位右边空三档（与留头乘法相同)。见图1。 第一步：先用乘数末位8去乘被乘数末位5，口诀“五 八40”，从被乘数末位右面第二档起加上乘积40；再用乘数第 二位4去乘被乘数末位5，口决“四五20”，从被乘数末位右 一档起加上乘积20；然后，用乘数头位7去乘被乘数末位5,口决“五七35”，把被乘数末位5改成乘积的十位数3，在右一档加上乘积的个位数5。见图2。 第二步：先用乘数末位8去乘被乘数第二位2，口决“二 八16”，从被乘数第二位右面第二档起加上乘积6；再用乘数第二位4去乘被乘数第二位2，口决“二四08”，在被乘数第 二位右面第二档加上乘积8；然后，用乘数头位7去乘被乘数第二位2，口诀“二七14”，把被乘数第二位改为乘积的十位数1，在右一档加上乘积的个位数4。见图3。 第三步：先用乘数末位8去乘被乘数头位6，口决“六 八48”，从被乘数头位右面第二档起加上乘积48；再用乘数第 二位4去乘被乘数头位6，口决“四六24”，从被乘数头位右 一档起加上乘积24；最后，用乘数头位7去乘被乘数头位6，口快“六七42”，把被乘数头位6改成乘积的十位数4，在右 一档加上乘积的个位数2，便得积数467,500。见图4。 55 ==========第58页========== 被 数 第一步： 在（空三档） (先从乘数末位8乘被乘数末位5) 图후움을웅웅88후图움후웅웅웅을 2 8×5 4×5 7×5 五八4用 四五20 五七35 第二步： 第三步： (先从乘数未位8乘被乘数第一位2) (先从乘数末位8乘被乘数头位6) 图 88$989g8 图 898988888 3 00000 8×2 !8×6 积 4×6 数 4×2 7×2 7×6 位 二八16 六八48 四08 四六24 二七14 六七42 积数467,500 破头乘法一开始就要破掉被乘数，如果位数较多，往往容易把被乘数的数字忘掉；而掉尾乘法也容易发生串位错档的错误。·所以，这两种乘法只适用于位数较少的多位乘法。 56 ==========第59页========== (六)乘法的基本练习方法 初学珠算乘法时，可在算盘上拨123,456,789作被乘数，分别用2、3、4、5、6、7、8、9去乘，这是一位乘法的基本练习方法之一，也是打好多位乘法的基础。然后分别用.9的倍数（即18、27、36、45、54、63、72、81）去乘，乘得结果依次是2,222,222,202到9,999,999,909。还可经常练习以下各题： 1.781,250×128=100,000,000算盘上乘得的结果是1(有效数字)，叫做“万众一心”。 2.16,225,679×35=567,898,765算盘上积数的盘式左右对称，叫做“凤凰展翅”。 3.以1,953,125为被乘数，分别用512和它的倍数（即1,024、1,536、2,048、2,560、3,072、3,584、4,096、4,608)去乘，乘得的结果依次是1、2、3、4、5、6、7、8、9(有效数字)，这是多位乘法的基本练习方法之一，叫做“狮子滚绣球”。 (七)乘法简法 1.凑整乘法 两数相乘如有一数接近整数（即10的乘方数)时，也可用补加数的方法来简化计算过程。这种乘法，是用被乘数与乘数的补加数相乘，在被乘数的适当位数上减去这个乘积进行运算的。例如：189和9相乘时，乘数9接近整数10，补加数是1，就把乘数凑整为10，把被乘数189扩大10倍，成为 57 ==========第60页========== 1,890,减去被乘数189和补加数1的乘积（即1,890一189×1），便得乘积1,701。又如：189和98相乘时，乘数98接近整数100,补加数是2，就把乘数凑整为100，把被乘数189扩大100倍，成为18,900，减去被乘数189和补加数2的乘积（即18900-189×2),便得乘积18,522。这种乘法就叫“凑整乘法”，或称“补加数乘法”。因为它是用减法来进行运算的，所以又叫“减乘法”。“凑整乘法”用加、减运算，既简便，又能避免错位。 举例图示说明如下： 【例1】987×998=985,026 乘数998接近整数1,000，补加数是2，把被乘数987扩大1,000倍，成为987,000，减去987×2的积数1,974，便得乘积985,026。 乘数998是三位数，应在算盘最右边空三档放被乘数987，也就是把被乘数扩大1000倍，成为987,000；补加数2默记在心里。见图1。 然后在987,000里减去987×2的乘积（即被乘数本数的2倍)，只要在百位起减两次987后，便得乘积985,026。非常简便。见图2、3。 空三档 减987 减987 888888 898888 图 图 图 3 888 88 8 拔上被乘数 数 补加数2默记心里 金 积数985,026 58 ==========第61页========== 【例2】476×995=473,620 乘数995的补加数是5，把被乘数76扩大1,000倍，成为476,000,减去476×5的积数2,3$0s使得乘积473,620。 在算盘最右边空三档放被乘数76，也就是把此数看成为476,000。见图1。 从476,000里减去4？6×5乘积，”先议拥数5去乘被乘数末位6，“五六30”，从被乘数末粒右面第二裆起减去乘积30，见图2。 再以补加数5去乘被乘数第二位7，“五七35”，从被乘数第二位右面第二档起减去兼积35。见图3。 最后，以补加数5去乘被乘数头位4，“四五20”，从被乘数头位右面第二档起减去乘积20，便得乘积473,620。见图4。 空三档 减6×5 图 윤온888 图 388888 2 8888 拨上被乘数 五六3·0 减7×5 减4×5 图 图온우후 S 58888 五七35 四五20 积数473,620 59 ==========第62页========== 【例3】1,289×4,056=5,228,184 本例被乘数1,289中有接近整数10的8和9，因为被乘数和乘数可以互相调换，例如9×4,056和4,056×9的积数÷样，如把9×4,056当作4,056×9，把乘数4,056扩大10倍，成为40,560,减去4,056×1，便得积数36,504。在运算9×4,056时，就可拨去9，从本位起加上40,560，并从本位右一档起减去4,056，进行加减运算。在运算8×4,056时，就可拨去8,从本位起加上40,560，并从本位右一档起两次减去4,056，便得所乘的积数。见图1一6。 当被乘数中有1或2时，如1×4,056，也可拨去被乘数1，从本位的右一档起加上乘数4,056；如2×4,056，就拨去被乘数2，从本位右一档起加上乘数4,056二次。便得所乘的积数。见图7一9。 被数 位 空四档 图88888 图8888888 拨去9 加40,560 8후웅우후 图후우우우우우 减4,056 拨去8 加40,560 60 ==========第63页========== 图· 우우후양g을 6 减4,056 再减4,05.6 88웅웅웅8 图 우유오우온웅 7 8 拨去2 再加4,056 加4,056 图8옹우유웅8웅8 拨去1 加4,056 积数5,228,184 2。“加代乘”法 在日常计算中，常有某个乘数在一个时期里是固定不变的，只是被乘数不同，可先把固定不变的乘数从1一9倍的乘积算出来编成表（称做“倍数表”），然后拨被乘数在算盘上，从被乘数末位起，依次照表上相应的倍数相加，就得所求的积数。这种用州法来代替乘法的方法，就叫“州代乘”法，运算起来比用乘法简便得多。 61 ==========第64页========== 例如：粮食基层单位收购和销售各种粮食，计算价款时，由于粮食购销牌价极少变动，就可预先把不同品种粮食的每斤单价编成1一9倍的倍数表，分别用“加代乘”法运算。 现以面粉和小米销售单价为例，编成每斤单价的倍数表如下（单位元)： 如售出小米28.5斤，价款应 斤 粉 米 是： 1 0.18 0.134 28.5×0.134=3.819元 2 0.36 0.268 运算时，先在算盘右边拨上被 3 0.54 0.402 乘数28.5，但在被乘数末位后面应 4 0.72 0.536 空三档（乘数0.134作三位看待）， 5 0.90 0.670 从被乘数末位起查倍数表，把被乘 1.08 0.804 数从本位起改成相应的倍数逐位相 7 1.26 0,938 加。如倍数头位是0,0应在本位， 就把被乘数本位拨去，从右一档起 8 1.44 1.072加倍数的其他各数；如倍数头位不 9 1.62 1.206 是0，就把被乘数本位改成该倍数 注：设面粉每厅0.18元，小米 每斤0.134元。 的头位数字，从右一档起加倍数的 其他各数，注意对准位数。图示如下： 拨去5 空三档 加67 을웅우웅용온 88 88 拨上被乘数 末位5的倍数是 0.670 62 ==========第65页========== 改成1 拨去2 加072 加268 8898 ●○●● 8 8 第二位8.的倍数是 (取四位小数) 1.072 头位2的倍数是 0、268 积数3,819 如把算盘图式摆成加法算式就是：被乘数285 0670 1072 +0268 3,8190 在实海工作中，例如食堂会计出售饭票计价、生产队年终分窝计算各户工会值等，都可仿照上述编成倍数表的办法，用“加代藥”法运算，就能提高工作效率。 63 ==========第66页========== 五、除法 除法是计算一个数被另一个数等分的方法，实际上也可以说是一种简便的减法，它的道理和乘法正相反。例如：42÷6=7,就是除法的算式。其中“÷”代表“除”的符号，42是“被除数”，6是“除数”，7是除得的结果，叫做“商数”（简称“商”)；有时除不尽，剩下的数叫“余数”。 珠算除法根据除数的位数多少，可分为一位除法和多位除法两种。 (一)除法口决 在算盘上算除法，也有一套除法口诀叫“归除歌决”。除数是一位的除法叫“归”，也叫“九归法”。除数是1的叫“一归”，除数是2的叫“二归”，以下类推。除数是二位以上的多位除法叫“归除”，除数的头位是几就是几归，头位以下的数是几就是几除，如除数是12的叫“一归二除”，除数是365的叫“三归六五除”等。 一位除法用“九归口诀”，共59句；多位除法，除九归口诀外，有时还要用“撞归口决”，共18句。 九归口诀如下： 一归逢一进1，逢二进2，逢三进3，逢四进4，逢五进 5,逢六进6，逢七进7，逢八进8，逢九进9。 64 ==========第67页========== 二归二一改作5，逢二进1，逢四进2，逢六进3，逢八 进4。 三归三一3余1，三二6余2，逢三进1，逢六进2，逢 九进3。 四归四一2余2，四二改作5，四三7余2，逢四进1， 逢八进2。 五归 五一改作2，五二改作4，五三改作6，五四改作8，逢五进一。 六归六一下加4，六二3余2，六三改作5，六四6余4，· 六五8余2，逢六进1。 七归七一下加3，七二下加6，七三4余2，七四5余5， 七五7余1，七六8余4，逢七进1。 八归八一下加2，八二下加4，八三下加6，八四改作5， 八五6余2，八六7余4，八七8余6，逢八进1。 九归九一下加1，九二下加2，九三下加3，九四下加4， 九五下加5，九六下加6，九七下加7，九八下加8，逢九进1。 九归口诀可分为没有余数的和有余数的两类。 1.没有余数（即能除尽）的口诀，又可分为两种。 (1)“逢几进几”类：当被除数大于除数（即“够除”时)，就用这类口诀。“逢儿”表示当被除数“够除”时，拨去本档被除数；“进几”表示在左档加上几颗算珠。因为这类口决里没有除数，应用时要注意属于哪一归（即除数是几），并特别注意“逢儿进1”和加法口决里逢10“进1”的区别。例如：“逢八进4”就是8÷2=4的意思。图示如下： 在箅盘左边第二档拨上被除数8。见图1。 65 ==========第68页========== 拨去被除数8，在左一档拨上四颗下珠。见图2。 空一档》 数 图图 團8888 拨上8 八 (2)“改作”类：当被除数小于除数（“不够除”)时用这类口诀。“改作”表示在本档把被除数改成商数。例如“二一改作5”就是10÷25箭意思。图示如下： 在算盘左边拔上被除数0。见图1。 在本档拨下一颗上珠，并拨去一颗下珠。见图2。 商数 图 8$88 2 8 拨上10 改 5 2.有余数（即不能除尽)的口决，也可分为两种： 66 ==========第69页========== (1)“余”类（即“×××余×”)：当被除数小于除数(即“不够除”)但不能除尽时，就用这类口决。“余”表示有余数，“余”字前的阿拉伯数字是商数，后面是余数，如：“三 一3余1”就是10被3除，商数是3，余数是1。运算时，在本档把被除数改成商数，并在右一档加上余数。图示如下： 在算盘左档拨上被除数10。见图1。 在本档拨上二颗下珠，把被除数改成商数3，再在右一档拨上一颗下珠。见图2。 商余 数数 图8988 图83 2 拨上1 三一3《余1 (2)“下加”类：当被除数小于除数（即“不够除”)而被除数恰与商数相同，且有余数时，用这类口块。“下加”表示被除数本档不动（成为商数)，在右一档加上余数（即阿拉伯数字)。例如：“六一下加4”，就是10÷6=1余4的意思。图示如下： 在算盘左边拨上被除数10。见图1。在右一档加上四颗下珠。见图2。 67 ==========第70页========== 襄竅 图 图 후을 le-oooo 拨上10 ノ 下加 现把九归口决分类列表如下： 口 分 没有余 数的 有 余数的 诀 类 进 商类 改商类 商 余 类 除数) (逢儿进几) (改作) (余) (下加) 一 逢一进1· 二 逢二进1，逢四进2， 逢六进3，逢八进4二一改作5 三 逢三进1，逢六进2， 三-3余1 逢九进3 三二6余2 逢四进1，逢八进2四二改作5 四一2余2 四 四三7余2 五一政作2 五 逢五进1 五一改作4 五三改作6 五四改作8 六 逢六进1 外改作5六二3余2，六四6六一下加4 余4，六五8余2 七三4余2，七四5七 逢七进1 余5，七五7余1， 七一下加3 七二下加6 七六8余4 八一下加2八 逢八进1 八四改作5 八五6余2，八六 八二下加4 7余4，八七8余6八三下摊6 九ー下加1 九 逢九进1 …九八下加8 68 ==========第71页========== 上表除“逢几进几”类口决未注明除数外，其余三类口决的第一个字指除数，第二个字指被除数；所有口决后面的阿拉伯数字是指商数或余数。 撞归口诀如下： 口 分 诀 商 类 退 类 归 归 见一无除9余1 无除退一下还1 归 见二无除9余2 无除退一下还2 三 归 见三无除9余3 无除退一下还3 四 归 见四无除9余4 无除退一下还4 五 归 见五无除9余5 无除退一下还5 六 归 见六无除9余6 无除退一下还6 七 归 见七无除9余7 无除退一下还7 八 ·归 见八无除9余8 无除退一下还8 九 归 见九无除9余9 无除退一下还$ 在多位除法中，如被除数和除数的头位数相同，而被除数第二位和以下数字比除数第二位和以下各位数字小（即“不够除”)时，就要用撞归口决。 撞归口决有“商九”和“退商”两类。 1.“商九”类：每句口决的商数都是9。“见几”表示被除数和除数都是几（即头位相同)，“无除”表示“不够除”，“9余几”表示商数是9，余数是“几”（与除数头位数相同）。例知；115÷12就要用口决“见一无除9余1”。图示如下： 69 ==========第72页========== 在算盘左边拨上被除数115。见图1。 把被除数头位1改成9，右一档拨上一颗下珠。见图2。 余 数数 图 图883 2 -00000 -00000 拨上115 一无除 1 2.“退商”类：每句口决的“无除退一”表示商数过大，也就是商数和除数第二位和以下各位数字相乘的积数大于余数(即余数不够减)时，就要把商数减去1；“下还儿”表示在商数的右一档加上几（与除数头位数相同)。有时退1后仍不够减，可继续退1，到够减为止。例如113÷14用口诀“见 一无除9余1”后，余数23不够减商数9和除数第二位4的乘积36，这时就要用口决“无除退1下还1”，从商数减去1。图示如下： 拨上被除数113。见图1。 先用商九口决“见一无除9余1”。见图2。 再用退商口决“无除退1下还1”，从商数9减去1，在右一档拔上一颗下珠，商数是8，余数是33。见图3。 70 ==========第73页========== 图888 图8888 图99至 -00000 拨上113 一无除 无除退 余 下还！ 上述口诀主要是按照算出的结果编成的，有些也能结合拨珠动作。如果在理解口诀意思的基础上，背熟口诀，运算时，商数可脱口而出。即使忘了某句口诀，也可随时根据口诀来源，用心算的方法算出来。 (二)除法的定位方法 珠算除法的定位，以除数的位数为准，也是用数档位的方法，只是方向和乘法相反。 在整数除法中，只要数一下除数有几位，被除数个位的左面第几档就是商数的个位。如除数是一位，商数个位在被除数个位的左面第一档上；除数是二位，商数个位在被除数个位的左面第二档上，以此类推。在运算时，可选定一个计位点或铜档作定位的标记。 在小数除法中，如除数是带小数，只要数一下整数有几 71 ==========第74页========== 位，商数个位就在被除数个位的左面第几档上；如除数是纯小数，小数点后面没有“0”，如0.3，商数个位就在被除数的个位档上；但当除数是纯小数，而小数点后面带“0”，如 0.0003,只要数一下带几个0，商数个位就在被除数个位的右面第几档上。 【例1】12,240÷300=40.8 除数300是三位数，商数个位在被除数个位的左面第三档上（即左移三档)。见下图。 88888후 움8을웅8 被 商 数个位 个位 【例2】1,224÷0.3=4,080 除数0.3是小数点后不带“0”的纯小数，商数个位就在被除数的个位档上。见下图。 8888 98888 88 被除数个位 商数个位 72 ==========第75页========== 【例3】0.1224÷0.0003=408 除数0.0003，小数点后有三个.0，商数个位在被除数个位的右面第三档上（即右移三档)。见下图。 88888 888웅8 总 被除数个位 数个位 (三)一位除法 一位除法就是除数只有一位的除法。在算盘上运算时，通常把除数放在算盘的左边（除数也可记在心里)，在距离除数一或三裆的右边拨被除数。 除的巅序，和笔算一样，也是由被除数的最高位数字，从左右，依次被除数除，直到除完为止；如除完被除数的求位数后，在该档右边还有数字，那就是余数（即除不尽)。除的方法，按照九归口快改变被除数的算珠，即得商数。除数个位的左一档便是商数的个位。 【例1】632÷4=158 在算盘左边拨除数4，隔开三档拨被除数632，商数个位在被除数个位的左一档。见图1。 先从被除数头位除起，6÷4,6大于4，用四归口 73 ==========第76页========== 诀“逢四进1”，从本档6中减去，4，在左一档加上1（就是商数)。见图2。 2÷4,2小于4，用口诀“四二改作5”，把本档2改成5（成为商数)。见图3。 3÷4,用口诀“四三7余2”，把本档3改成7（成为商数)，在右一档加上余数2。见图4。 最后，4÷4，口诀“逢四进1”，拨去本档4，在左一档加上1，得商数158。见图5。 6÷4 图8品888 图 8 000! 除 商 逢 个位除数个位 进 2÷4 3÷4 图움후8웅8Ş 图8888888 3 홍으 四 四 二谈作 2 74 ==========第77页========== 4÷4 图 후후을 5 逢 进 【例2】518÷7=74 拨上除数7和被除数518。见图1。 5÷.7,用七归口诀“七五7余1”，把本档5改成商数7,在右一档加上余数1。见图2。 2÷7,口诀“七二下加六”，本档2不动，成为商数，在右一档加上6。不能逢10进1，要用顶珠。见图3。14÷7,口诀“逢七进1”，拨去本档7，在左一档加上商数1。见图4。 再“逢七进1”，拨去本档7，在左一档加上商数1（也可直接拨去14，在左一档加上商数2，即“逢十四进2”)，得商数74。见图5。 움8888 图 除 商 个 除数个位 75 ==========第78页========== 5÷7 2÷7 图 898g8立 图공우8 88 8 七 五 、 下 余 6 14÷7 图888웅8 图8333 8 逢 七 进 进 1 1 (也可直接拨去14，即“逢十四进2”) (四)多位除法 多位除法，就是除数是两位以上的除法。在算盘上运算时，分为“归”和除”两步，叫做“归除”。“归”就是先用除数的头位去除被除数的头位，用九归口决求得商数（有时，还要用撞归口诀)；“除”就是再用商数同除数的第二位和以下各位数字相乘，把相乘的积数依次从被除数中减去，直到除尽，或除到所要求的几位商数为止。76 ==========第79页========== 【例1】989÷43=23 在算盘左边拨除数43，隔开三档拨被除数989，除数是 二位数，商数个位就在被除数个位的左面第二档上。见图1。 除数头位是4，应用四归口决来除被除数头位9，口决“逢八进2”，拨去本档8，在左一档加上商数2。见图2。 然后，在商数2的右面第二档上减去除数第二位3和商数2的乘积6。见图3。 再用除数头位4去除被除数1，口决“四一2余2”，把本档1改成商数2，在右一档加上余数2。见图4。 余数9大于除数43，要进行“补商”（即“够除”，要加大商数)，用口决“逢四进1”，拨去4，并在左一档加上1(商数成为3)。见图5。 最后，在商数3的右面第二档上减去除数第二位3和商数3的乘积9，便得商数23。见图6。 9÷4 图 8888 图후 逢 数个位 数个位除个位 进 77 ==========第80页========== 1÷4 88888828 图98888889 4羟 减(3×2) 四 06 2 余2 袋 49 图888888 图우88888우 6 -88280 4 减(3×3)09 进 1补商) 【例2】3,045÷35=87 在算盘左边拔上除数35，隔开三档拨被除数3,045，被除数个位的左面第二档是商数个位档，见图1。 除数和被除数头位都是3，被除数第二位0小于除数第 二位5（即“不够除”），应用“商九”口诀“见三无除9余3”，把本档3改成商数9，在右一挡加上余数3。见图2。 78 ==========第81页========== 商数9过大，余数34不够减除数第二位5和商数9的乘积45，要用“退商”口决“无除退一下还3”，从商数9中减去1，在右一档加上3。见图3。 然后，从商数8的右一档起减去除数第二位5和商数8的乘积40。见图4。 再用除数头位3去除毅除鞋2，闲口袂“三6余2”，把本档2改成商数6，在右一裆加上余数2。见图5。 余数65大于除数35，要“补商”，用诀“逢三进1”，从本档6中减去3，在左一档珈上1（商数成为7）。见图6。 最后，从商数7的右一档起减去除数第二位5和商数7的乘积35，得商数87。见图7。 数 3÷3 34 图후을888888 图 2 C 商 除数个位 个位除数个 三无除 位 79 ==========第82页========== p-000000 0-0-000000 蜘 39 -009-600-00 00-000 0-800-000 拭（衣樱） 006-00 10-0000-00 00000 00- -00000 -00000 00 00000 -00000 (8x)饭 00- 00000 00 -00000 -00000 0- -00000 0300 5 08-0이 m 083-00 9-000 图+ 忍 090--00 -00000 -00000 00--00000 0- 一00000이 un e-00000l -00000 燧 00-0800-0 -09e0 0- 的N 00-006-00 0-00-e000(短) K战的 6000 1111o 0-●●08-80 R趣1 lo-el980-00 哑N 00- -00000 00--00000 00- -00000 00--00000 -00000 00--00000 -00000 0--00000 000-0이 00-la09-00 品 图M 欧 ==========第83页========== 【例3】40,948÷706=58 在算盘左边拨上除数706，隔开4档拨被除数40,948，因除数是三位数，被除数个位的左面第三档便是商数个位档。见图1。 除数头位是7，应用七归口诀来除被除数头位4，口决“七四5余5”，把本档4改成商数5，在右一档加上余数5。见图2。 除数第二位是0，应从商数5的右面第二档起诚去除数第三位6和商数5的乘积30。见图3。 再用除数头位？去除被除数5，口诀“七五7余1”，把本档5改成商数7，在右一档加上余数1。见图4。 余数748大于除数706，要“补商”，用口决“逢七进1”，拨去7，并在左一档加上1（商数成为8）。见图5。 最后，从商数8的右面第二档起减去除数第三位6和商数8的乘积48，得商数58。.见图6。 图움후웅우888우88 除数个位 商数个位 被除数个位 81 ==========第84页========== 4÷7 图8Ys889888 七四 5 零 图 후움후움8은을을후 减(6×5) 30 余数 5÷7 748 图오88888을8웅8 4 -00000 7 ∽ 余 82 ==========第85页========== 图 七 进1(补商) 园후움우후웅온8후후8888858 减(6×8) 48 【俄4】82ǒ，731÷8,523=97 挖上除数8,523和被除数826,731。因除数是四位数，被除数个位的左面第四档便是商数个位档。见图1。 除数和被除数头位都是8，被除数第二位2小于除数第 二位（即“不够除”)，应用“商九”口诀“见八无除9余8”，把本禮8改成商数9，在右一档加上余数8，不能逢10进1，要用底珠。见图2。 从商数9的右-档起减去除数第二位5和商数9的乘积45。见图3。 再从商数9的右面第二档起减去除数第三位2和商数9 83 ==========第86页========== 的乘积18。见图4。 再从商数9的右面第三档起减去除数第四位3和商数9的乘积27。见图5。 然后，用除数头位8去除被除数5，口诀“八五6余2”，把本档5改成商数6，在右一档加上余数2，不能逢10进1，要用顶珠。见图6。 商数6的右一档11比除数头位8大，要补商，口诀“递 八进1”，从11中减去8，在左一档加上1（商数成为7)。见图7。 从商数7的右一档起减去除数第二位5和商数7的乘积35。见图8。 再从商数7的右面第二档起减去除数第三位2和商数7的乘积14。见图9。 最后，从商数7的右面第三档起减去除数第四位3和商数7的乘积21，得商数97。见图10。 图 8웅888 自皇 数 食 被除数个位 84 ==========第87页========== 8÷8 图 우우우후 见八无除9 8 图 减(5×9) 5 图 89888 8 减(2×9) 13 图 9g8臣 5 3名3品8尽 e-00 O 减(3×9) 27 85 ==========第88页========== 5÷8 图 88899838888 6 八五6 余2 图 온온요을추 7 逢 进1（补商） 图8후후웅우후 诚(5×7) 35 86 ==========第89页========== 图 88888888우후 9 样 减(2×7) 图8Y83888888 88 减(3×7) 21 【例5】0.105÷0.014=7.5 本例除数和被除数都是纯小数，在算盘左边拨上除数的有效数字14，隔开四档拨被除数的有效数字105。除数0.014，小数点后有一个“0”，商数个位应在被除数个位档的右一档，可利用计位点作为商数的小数点。见图1。 除数和被除数头位都是1，被除数第二位0比除数第二位4小（即“不够除”)，应用“商九”口诀“见一无除9余1”，把本档1改成商数9，右一档加上余数1。见图2。商数9过大，余数15不够减除数第二位4和商数9的乘积36，要用“退商”口诀“无除退一下还1”，从商数9中减去1,在右一档加上1。见图3。 商数8仍过大，余数25不够减除数第二位4和商数8的乘积32，还要用“退商”口决“无除退一下还1”，从商数8中减去1，在右一档加上1。见图4。 87 ==========第90页========== 从商数7的右一档起减去除数第二位4和商数？的乘积28。见图5。 再用除数头位1去除被除数7,7比1大，用一归口决“逢五进5”，从本档7中减去5，在左一档加上5（成为商数)。见图6。 最后，从商数5的右一档起减去除数第二位4和商数5的乘积20，得商数7.5。见图7。 余数 计位点代小数点Y 1÷1 15 图88888888웅8 8888온8웅8웅후 2理 除数 被 (0.014) 商 见 个 个 无除9 余数 25 图8888888g8 图우8888웅8웅8 美 退商) (《再退商)下还1无除退一 下 1 88 ==========第91页========== 7÷1 图888888웅 图 8우8웅 6 逢 减(4×7) a, 5 图3888888888 8 减 (4×5) 20 商数：7.5 (五)除法的基本练习方法 通常先在算盘上拨123,456,789九个数，然后用2乘，乘过后再被2除，这样一乘一除的结果仍是原数，就叫做“二归”，接着再用3去乘和除，叫做“三归”。其他各归以此类推。这是练习一位除法和熟记九归口决的常用的练习方法。也可反着进行，即先除后乘。 多位除法也可用123,456,789乘9的倍数(（即18、87、36、45、54、63、72、81)后，再除以原乘数（即9的倍数）；或用123,456,789乘任意两位数（如19、28、37、46、55、64、73、 89 ==========第92页========== 82、91等)后，再除以原乘数（即任意两位数）。也可反着进行，即先除后乘。 还可经常练习以下各题： 1.以“狮子滚绣球”（即1,953,125×512及其倍数：1,024、1,536、2,048、2,560、3,072、3,584、4,096、4,608)的乘积，用除法还原验算。 2.998,001÷999=999,99,980,001÷9,999=9,999。此二算题要用到悬珠，叫做“孤雁出群”。 3,55,555×9,375=520,828,125,并用除法还原。相乘时，被乘数个位5×9,375=46,875，以后各位都是5，可依次在被乘数本位拨去5，加上46,875，即得积数，不必乘算，既准又简便。除法还原时，应以9,3？5为除数。这叫做“山上 五只虎，地下九三七五”。 (六)除法简法 1.商除法和剥皮除法 商除法不用另记口决，是在乘法九九口诀的基础上进行计算的。计算方法和笔算相同，很容易学会。但商除法要进行试商，因此，定商不如归除法明显，在运算时要结合珠算加、减、乘法以及笔算和心算进行。 商除法通常也把除数放在算盘的左边，在距离除数二、 三档的右边拨上被除数；如果除数默记在心里，则被除数可放在算盘的左边（从第三档起拨被除数，空两档留作放商数)。在放置商数时应牢记：“够除商隔位，不够除商挨位”的原则。即：当除数是一位的除法，如被除数头位数大于 90 ==========第93页========== 或等于除数头位数也就是“够除”时，商数应放在被除数的左面第二档上（隔位上商)；如被除数头位数小于除数头位数也就是“不够除”时，商数应放在被除数的左一档上（挨位上商)。当除数是二位的除法，“够除”与“不够除”就要看被除数的前二位，除数是三位或三位以上的除法，“够除”与“不够除”就要看被除数的前三位或前三位以上。 【例1】96÷8=12 在算盘左面第三档起拨上被除数96，除数8记在心里。商数个位在被除数个位的左面第二档上。见图1。 先用除数8除被除数头位9,9大于8，在被除数9的左面第二档（即隔位)拨上一颗下珠，就是商数；并在本档9中减去除数8和商数1的乘积8。见图2。 再用除数8去除16，被除数头位1小于8，在被除数1的左一档（即挨位）拨上二颗下珠，就是商数；并从商数2的右一档起减去除数8和商数2的乘积16，得商数12。见图30 9÷8 16÷8 图8은 图 图889 ● 人) 隔位上商1 挨位上商2 数个位除数个位 减(8×1)08 减(8×2)16 91 ==========第94页========== 【例2】112÷7=16 拨上被除数112，除数7记在心里。商数个位在被除数个位的左面第二档上。见图1。 11÷7,被除数头位1小于除数7，应挨位上商1；并在被除数头二位数11中诚去除数7和商数1的乘积7。见图20 42÷7,被除数头位4小于除数7，应挨位上商6；并从商数6的右一档起减去除数7和商数6的乘积42，得商数16。见图3。 11÷7 42÷7 图88888 图 후888후 图 8후양후 2 3 88 888. 商 被 挨位上商1 挨位上商6 数 减(7×1)07 减(7×6)42 数 多位除法，为了在试商的时候便于运算，可把被除数和除数按照“四舍五入”的办法看作整十或整百数去试除，试商的数字要“宁小勿大”，以免商数太大，不够除时，难于还原。发现余数大于除数时，再加大商数。 【例1】989÷43=23 在算盘左边拨上除数43，隔开三档拨被除数989，除数是 二位数，商数个位在被除数个位的左面第三档上。见图1。 第一步：98÷43，可看作90÷40（头位9大于4），隔位 92 ==========第95页========== 上商数2，从商数2的右面第二档起减去除数43和商数2的乘积86。见图2。 第二步：129÷43，可看作120÷40（头位1小于4)，挨位上商数3，从商数3的右一档起减去除数43和商数3的乘积129，得商数23。见图3。 图98888888 图 2 8 88 除 隔位上商2 减(4×2)08 个位 个位 数个 (3×2)06 位 (即43×2) 图88839 8 挨位上商3 暖（4 3)12 (3×3)09 (即43×3) 【2】40,948÷706=58 拨上除数和被除数，除数706是三位数，商数个位应在被除数个位的左面第四档上。见图1。 第一步：4,094÷706，可看作4,000÷700，应挨位上商5；并从商数5的右一档起减去除数706和商数5的乘积3,530。见图2。 93 ==========第96页========== 第二步：5,648÷706，可看作5,600÷700，挨位上商8；并从商数8的右一档起减去除数706和商数8的乘积5,648，得商数58。见图3。 图웅후88888웅图움8후웅8웅 2 商 数个位 数 被除 挨位上商5 减(7 5)35 (6×5) 30 位 (即7∴06×5) 图 挨位上商8 减(7 8)56 (6 8) 48 (即706X 8) 当商数是1或2时，也可运用珠算减法，在上商数1的同时，从被除数里减去除数一次，直到除尽或不够减时为止，这种方法就叫“剥皮法”，地叫“减除法”。在上商数时仍应牢记“够除商隔位，不够除商挨位”的原则。 【例1】3,552÷296=12 拨上除数296和被除数3,552，除数296是三位数，商数个位应在被除数个位的左面第四档上。见图1。 94 ==========第97页========== 第一步：355÷296，可看作350÷300，因“够除”，应隔位上商数1，从355中减去一次除数296。见图2。 第二步：592÷296，“够除”，先隔位上商数1，从592中减去一次除数296。见图3。 再隔位上商数1，减去296，得商数12。见图4。 图888988388 图 2 除 商 隔位上商1减296 数个 数 位 数个位 图8889399F88 图 隔位上商1减296 再隔位上商1减296 【例2】11,844÷564=21 拨上除数564和被除数11,844，商数个位在被除数个位的左面第四档上。见图1。 第一步：1,184÷564，可看作1,100÷560，头位1小于5，不够除，应挨位土商数1，从商数1的右面第二档起减去一次除数564。见图2。 第二步：620÷564，因“够除”，应隔位上商数1，从右 95 ==========第98页========== 面第二档起减去一次除数564。见图3。 第三步：564÷564，因“够除”，应隔位上商数1，从右面第二档起减去一次除数564，得商数21。见图4。 图 홍일888유웅을후 图8888g88 .7 商 放 换位上商1减56 数个位 数个位 数个位 图오오888888 图오8888888유8 3 隔位上商1减564 隔位上商1减564 当商数是8或9时，还可在被除数的头位或第二位起加上一次或两次除数后，再用珠算减法运算，一次减去除数的10倍，以简化运算过程，加了几次除数，商数就是从10减去“几”的差数。'如被除数加上一次除数够减除数的10倍时，商数就是(10-1)=9；被除数加上两次除数够减除数的10倍时，商数就是(10一2)=8。其余类推。这种方法就叫“大剥皮法”，也叫“加成法”，或称为“加除法”。 运算时，如被除数略小于除数（即“不够除”），就在被除数的第二位起加除数；如被除数大于除数的八、九倍时（即 96 ==========第99页========== “够除”)，就在被除数的头位起加除数，头位超过1Q时，应 向前进位。注意不要加错位，并记住除数加了几次，以便确定商数。 【例1】66,150÷675=98 拨上除数675和被除数66,150，商数个位在被除数个位的左面第四档上。见图1。 第一步：6,615÷675，可看作6,600÷680，估计商数是9，就可用“加除法”进行运算，因被除数头三位数661略小于除数675,从被除数第二位起加除数675（即6,615+675)，得7,290,已超过除数675的10倍（6,750)。见图2。 因加一次除数，应挨位上商数9（即10-1），从右一档起减去除数的10倍6,750。见图3。 第二步：5,400÷675，可看作5,400÷680，估计商数是8,仍用“加除法”运算，从被除数第二位起加一次除数675(即5,400+675)，得6,075。见图4。 因为6,075小于除数的10倍6,750，再从被除数第二位起加一次除数675（即6,075+675)，得6,750。见图5。 共加了二次除数，应挨位上商数8（即10一2），从右 一档起减去除数的10倍，得商数98。见图6。 图 图 商 被除 如675 个位 在 个位 97 ==========第100页========== 图 을88웅88 图온88웅83웅웅 3 挨位上商9（即10-1） 加675 减6,750 图 图 888888 6 再加675 挨位上商8（即10-2） 减6,750 【例2】9,345÷105=89 拨上除数105，被除数9,345，商数个位在被除数个位的左面第四档上。见图1。 第一步：934÷105，可看作900÷100，估计商数是9或8，被除数934大于除数105，从被除数头位起加除数105（即934+105),得1,039。见图2。 1,039小于除数的10倍1,050，应从被除数第二位起加除数105（即1,039+105），得1,144，已够减除数的10倍1,050。见图3。 共加了二次除数，就挨位上商数8（即10-2)，从右 一档起减去除数的10倍1,050。见图4。 第二步：945÷105，可看作900÷100，仍从被除数头位起加除数105（即945+105），得1,050。见图5。 98 ==========第101页========== 只加一次除数，挨位上商数9（即10一1），从右一档起减去除数的10倍1,050，得商数89。见图6。 图88웅88888웅 图93888888 三 加105 数个 数个 除数 位 位 图3 图웅8웅88웅웅 再加10,5 挨位上商8（即10-2) 减1,050 零8용웅88우웅우 图음을웅8웅888 6 .P1 加105 挨位上商9（即10-1） 减1,050 由于商数数字大小不一，在运算时如果灵活运用商除法和剥皮除法，就很简便。 【例3】30,135÷35=861 99 ==========第102页========== 拨上除数35，被除数30,135，商数个位在被除数个位的左面第三档上。见图1。 第一步：301÷35，可看作300÷35，估计商数是8，用“加除法”运算，因被除数头二位数30略小于除数35，从被除数第二位起加除数35（即301+35），得336。见图2。 336不够减除数的10倍350，再从被除数第二位起加一次除数35（即336+35)，得371，已超过除数的10倍350。见图3。 共加二次除数，就挨位上商8（即10一2)，从右一档起减去除数的10倍350。见图4。 第二步：213÷35，可看作210÷35，估计商数是6，用“商除法”运算，挨位上商数6，从右一档起减去除数35和商数6的乘积210。见图5。 第三步：余数35，与除数相同，用“减除法”运算，隔位上商数1，从右面第二档起减去除数35，得商数861。见图60 用“加除法” 图 8T88888888 图8움8888웅웅 2 -00000 加35 个位 在 除数个位 100 ==========第103页========== 图 图후웅8웅88을 3 再加35 挨位上商8（即10一2） 减350 竅 用“商除法” 35 用“减除法” 图 8 图웅8웅888 5 00000 挨位上商6 椭位上商1 成（3 6)18 减35 (5 6)30 (脚35× 6) 商除法和剥皮除法的定位，由于隔位上商，因此，除数是一位时，商数个位应在被除数个位的左面第二档上；除数是二位时，商数个位应在被除数个位的左面第三档上，其余类推。如除数是纯小数，小数点后面没有“0”，商数个位在被除数个位的左一档；小数点后面带“0”时，有一个0的，商数个位在被除数的个位档，有两个0的，商数个位在被除数个位的右一档。以此类推。 2.“减代除”法 当除数固定而被除数不固定时，也可编制除数的倍数表，用减法来运算，就比较简便。 101 ==========第104页========== ，例如：一年为365天，实际计算中常以365作为除数，就可编制365的1一9倍的倍数表如下： 在算盘上运算时，先从算盘左边第三 倍 数 档起放被除数，空两档留作放商数（也按 0365 商除法“够除商隔位，不够除商挨位”的原 0730 则)，然后从被除数的头位起依次照表上 3 1095 相应的倍数相减求得商数。这种用减法来 4 1460 代替除法的方法，就叫“减代除”法。 5 1825 例如：57,305÷365=157 6 2190 在算盘左边第三档起拨上被除数 7 2555 57,305,除数365是三位数，商数个位在 2920 被除数个位的左面第四档上。见图1。 先查倍数表，在算盘左一档上商数1， 9 3285 从商数1的右一档起减去0365。见图2。 再查表，在算盘左边第二档上商数5，从商数5的右一档起减去1825（365的5倍)。见图3。 最后，在算盘左边第三档上商数7，从商数7的右一档起减去2,555(365的7倍)，得商数157。见图4。 (空二档) 8898g 图 图88罕888 -00000 被 上商1 数 数个位 减0365 102 ==========第105页========== 图후용8웅용 图 98889 8 上商5 上商7 减1825 减2555 3.飞归法 从11至99二位除数，仿照九归口决的方法，编成一套口决来运算除法的方法就叫做“飞归”。“飞归”法，可以直接用口决得出商数和余数，因此，演算速度较快，但口决太多，难以熟记，也就不易推广。 对日常计算中经常遇到的某个位数不太多的除数，可仿照归的方法编成几句口决写在纸上备用，运算起来就比较方便。 扔以365这个数为例，可以编成四句“飞归”口决如下： 被除救 Ci 决 来 源 说 明 .1 一2余27 1,000÷365=2余270 2 5念175 2,000÷365=5余175 3 三8余08 3,000÷365=8余080 “够际 逢365进1 被除数大于365时就是“够除” 具体运算方法是： 见被除数1就把它改成商数2，从右一档起加27；见被除数2就把它改成商数5，从右一档起加175； 103 ==========第106页========== 见被除数3就把它改成商数8，从右一档起加0$；如被除数超过除数365（即“够除”）时，就依次减去365，在被除数头位的左一档加上商数1。 例如：134,685÷365=369 在算盘左边留一空档放商数，从第二档起拨上被除数134,685,除数365是三位数，商数个位应在被除数个位的左面第三档上（定位方法同归除法)。见图1。 ，被除数头位是1，用口决“一2余27”，把本档改成商数2,从右一档起加上余数27。见图2。 被除数头三位数616大于除数365，就用口决“逢365进1”,从616中减去365，在算盘左边第二档加上商数1（商 ·数成为3)。见图3。 被除数头位是2，用口诀“二5余175”，把本档改成商数5，从右一档起加上余数175。见图4。 .被除数头三位数693大于除数365，就用口决“逢365进1”,从693中减去365，在算盘左边第三档加上商数1（商数成为6)。见图5。 被除数头位是3，用口决“三8余08”，把本档改成商数8,在右面第二档加上余数8。见图6。 最后，用口决“逢365进1”把余数365拨去，在算盘左边第四档加上商数1（商数成为9)，得商数369。见图7。 104 ==========第107页========== SOL 0 8 柔 出 998联 8二 99g到 888O 8888 ● 0000 66660 오88 88883 围 186668 ☒●5OOQ 998弹苦 9 等9二 联 38 888 8888 由 192 图 8883 堂 塑 000- 40000- 8888833图 雪8583名名☒ 料 一草 ==========第108页========== 六、百分比简算法 在日常计算中，常常用百分比来表示计划完成的情况。百分比的算式是：数÷母数×100%=百分率，实际计算时，省去“×10%的运算，只用除法，以子数为被除数、母数为除数，把除得商数的小数点问右移二位添上百分比的等号“%”就直接得出结果来。 例如：某生产队全年计划生产粮食358,600斤，面实际生产粮食369,742斤，计算完成划的%时，就拟实际数为子数（即被除数)，计划数为母数（即除数），除得商数后，把小数点向右移二位，就是完成计划的%。即： 369,742÷358,600=1.03107=103.11%（尾数四舍五入)。 由于百分比一般只计算三、四位，小数以下至多留二位，因此，在算盘上算百分比就可应用简便的定位方法和简化运算过程。 首先，在算盘上确定百分比小数点的标记，把小数点固定在算盘右边第四档和第五档中间梁上（可贴白纸作小数点标记)。 其次，在算盘的右边放子数时，要对比母数和子数的位数来确定放子数的档次。如果子数和母数位数相同（即“同位”)，子数就从标记的左面第二档放起，标记的左面第二档就定作“同位”档。如子数此母数少一位，子数应从标记的左 一档放起，少二位，应从标记的右一档放起；如子数比母数 106 ==========第109页========== 多一位，应从标记的左面第三档放起，其余类推。 这样算出的百分比位数在算盘上是固定的，就是：标记左边各档是百分比的整数，右边各档是百分比的小数，立即可以读出，不需要再去定位，就很方便。这种定位方法就称为“固定档位定位法”，是珠算归除法定位方法在算百分比中的应用。 如用商除法算百分比，由于隔位上商的关系，应把标记向左移一档，并把标记左一档定做“同位”档。 分别图示如下： 对好档位放子数 “同位”档 标记 8888888888888 8 8 母数从左 100.00% 一档放起 (归除法) 对好档位放子数 “同位”档标记 8888888888888 母数从左 100、00% 一档放起 (商除法) 107 ==========第110页========== 运算时，子数照限定的档位放在算盘上，只放到最右档为止（以下四舍五入)，母数可放在算盘的左边。为了简化计算过程，从子数减去每位商数乘除数的积数时，可减到最右档为止，减不着的省略舍去，舍去的第一位如果满5，应在最右档多减1。百分比只算到小数点第三位即可四舍五入，以下省略不算，并不影响准确程度。这种省略运算过程的除法就叫“省除法”。用归除法或商除法都可进行运算；但不宜用剥皮除法，因常会出现尾差，影响准确性。如果母数固定，也可用“减代除”法算百分比，但应按照商除法定小数点的标记和放子数。 【例1】某生产队全年总收入34,520元，副业收入8,729元，问副业收入占总收入的百分之几？ 本例以副业收入为子数，总收入为母数，即：8,729÷34,520=25.29% 子数8,729比母数少.一位，应从标记的左一档放起。运算时，先放子数；然后在算盘左边放母数。见图1。 用归除法运算，每位商数乘除数的积数，减到最右档为止，减不着的舍去。见图2~4（算盘图中黑珠表示除数、被除数和余数，白珠表示商数，下同)。 算盘上的得数是25，.28%，因余数24大于母数头二位数字34的半数（即小数第三位商数满5，不必再算)，应加1(即五入)，就是25.29%。见图5。 108 ==========第111页========== 601 0 I (9×?) (9×9) 03 (9×节)辙 乙联兴联 T￥8一三 88888888888吕 节0 (?×乞) (2×s) 80 (3×节)® 乙积Y联 88 乙 888888888888白 {阳五) (9) 豫士 维。赶 2 岛83g88兰阁 斗 野 ==========第112页========== 图후우후8웅888 樓 逢六进2 减(4×2) 8 (5×2) 10 (2×2) 04(舍去) 余数 25,29%24(五入) 图움유웅우유8웅8웅8 见三无除9余3 无除谌一下还3 减(4×8) 32 (5×8) 4日 (2×8) 盖发 (舍去) 如用商除法运算，只是标记左移一档，其余算法相仿，即每位商数乘除数的积数，减到最右档为止，减不着的舍去。图示如下（运算过程从略）： 子数比母数少1位，从标记（或“同位”档)的右一档放起。见图1。 算出的百分比和余数跟归除法算出的百分比和余数是一样的，见图。 110 ==========第113页========== “同位”档标 记 图 39838883 母数 子数 (5位) (4位) 图 호후움8웅웅88 2 25.29%余数 24(五入) 【例2】某生产队去年粮食产量是128,961斤，今年是156,625斤，问今年产量是去年的百分之儿？比去年增产百分之几？ 本例先算出今年产量是去年的百分之几，应以今年产量为子数，去年产量为母数，即： 156,625÷128,961=121.45%; 然后，再算出今年比去年增产百分之几，即： 121.45%-100%=21.45%。 子数和母数的位数相同，应先从“同位”档起放子数156,625,母数可写在纸上。见图1（运算过程从略）。 111 ==========第114页========== 余数2小于母数头二位数12的半数（即小数点第三位商数不满5)，舍去，应是121.45%。见图2。 归 除法 “同位”档标 记 图9983亚 图8888883 子数 121.45%竅2舍去) 商除法 “同位”档标 图 1 图888웅8 1 号名 子数 21.45% 余数2(舍去) 112 ==========第115页========== 七、开平方简算法 一个数自乘一次的积数叫“平方数”，自乘数对它的平方数来说，叫“平方根”。如25×25=625.625是25的平方数(记作252=625)，而25就是625的平方根。 求一个数的平方根的运算叫“开平方”，这个数叫“被开方数”。开平方的符号用“yV一”（读作“根号”）表示，套在被开 方数上。如1V625表示求625的平方根。 在日常计算中，有时需要求出一个数的平方根。一位数和二位数的平方根，只要从乘法口决心算即得。如4从“二 二94”便知平方根是2；81从“九九81”即得平方根是9。三位数以上的平方根，一般可用计算尺或查《平方根表》进行计算，但位数常有一定限制。如用算盘开平方，原有的“归除开平方法”或“浙半开平方法”等古老算法，都必须记住一套口关，既溶烦，比较难学。 送基介绍一种笔算和珠算相结合的开平方简算法。它不用一套专门的决，对已学会笔算开平方的人，是很容易掌握的。 (一)笔算开平方的一殷方法 为了说明珠算开平方的简算法，应先简要介绍一下笔算开平方的一般方法。 113 ==========第116页========== 笔算开平方首先要把被开方的数加以分段。 如被开方数是整数，从个位起向左用撇号“′”每隔两位分成一段，到尽头只剩一位时，独立算一段，每段应得平方根一位。例如： 1089分二段：10'89应得平方根整数二位；32041分三段：3'20'41应得平方根整数三位。 如被开方数是纯小数，从小数点起向右每隔两位分成一段，每段得平方根一位，如末段只剩一位，应添一个“0”，凑成二位。知被开方数是带小数，整数部分从小数点起向左分，小数部分从小数点向右分。例如： 322.5616分成3'22.56'16四段，得平方根整数小数各二位； 0.01234分成0.01'23'40三段，得平方根小数三位。下面通过例题说明笔算开平方的一般方法。 初 【例1】V/625=25 次 根 2 5 V6'25 (初根的平方)22=4 225 (初根×20+次根)×次根=(2×20+5)×5=225 (即45×5) 0 具体算法是： 先找出被开方数625的第一段数6，心算得初根2，写在第一段数6的上边；把初根的平方（即22=4）写在6的下边，·6一4=2；再把第二段数25移下，得余数225。用初根×20（即2×20)=40，再用40试除余数225，得 114 ==========第117页========== 试商5（即次根)，45×5=225,225-225=0，刚好开尽，得平方根25。 应当注意，余数225并不是次根的平方，而是：225=2(初根)×20×5（次根）十52（次根2） 【例-2】V423801=651 初 次 次根。三根 根 6 5 V42'38′01 (初根的平方)62=36 63.8 (初根×20+次根)×次根=(6×20+5)×5=.625 (即125×5) 1301 (初根×20+次根)×次根=(65×20+1)×1=1301 (即130×1) 0 本例求得的平方根651是三位数，为便于说明，我们把三根也当作次根，则初根和次根就可视作初根来运算。在左边的算式中可见： 当次根是1时，如把次根1代入算式，则（初根×20+次根)×次根=（初根×20+1）×1=（初根×20）×1 十12=初根×20+12，这里12也就是次根2。这就是说，余数中应减去的是：初根的20倍与次根平方的和。 当次根是5时，如把次根5代入算式，则（初根×20+次根x×次根=（初根×20+5）×5=（初根×20）×5+52=初根×100+52，这里52也就是次根2。这样，余数中应减去的就是：初根的100倍与次根平方的和。 115 ==========第118页========== (二)珠算开平方的简算法 珠算开平方的简算法就是根据上述笔算开平方的方法，在算盘上加以应用。在运舞前也要首先把被开方数加以分段，第一段心算得初根的运算过程与笔算也是一样的。以后的运算过程，根裙述例题中左边第式的运算结果，就可分别不同的情况进行试商运算： 由于当次根是5时，余教中应诚去的是初根的100密与次根平方的和，那末，知所取的余数大于或等于初根100倍与25的和，就试商5，在余数中城去初根100倍； 当次根是1时，余数中应减去的是初根20倍与次根平方的和，那宋，如所取段阅余数小于初根100倍，“但大于或等于初根20倍与1的和，就试商1，在余数中减去初根20倍；然后，再从所取段的余数中减去次根的平方。 这也就是把试商先定为5或1；然后，看所取段的余数剩下多少，再酌情加大商数，商数每加1，就要从剩下的余数中减去初根的20倍；最后，还要从剩下的余数中减去次根的平方。综上所述，珠算开平方简算法可归纳为以下四句话：求初根，分段先算第一段；大商5，·余数诚初根百倍；小商1，余数减初根二十倍；不够商，余数减次根平方。 运算时，可固定从算盘左边第三档起拨上被开方数，并从算盘左边第一档起拨平方根。 现举例图示说明珠算开平方简算法如下： 116 ==========第119页========== 【例1】/1225=35 12'25分二段，应得平方根整数二位。 在算盘左边第三档起拨上被开方数1225。分清第一段有2位，以便心算求初根。在算盘上分段不作标记，但须在心中记清。见图1。 第一段数12，从乘法口诀心算得初根3（三三09)，拨在算盘左边第一档；然后，在第一段数中减去初根的平方，即12-9=3，得余数325。见图2（算盘图中黑珠表示被开方数和余数，白珠表示平方根，下同)。 余数325大于初根的100倍（即300）.，就试商5。将试商5拨在初根3的右一档；然后，从余数中减去初根的100倍，还余25。见图3。 余数25不足初根3的20倍（即60)，就从余数中再减去次根的平方(52=25)，25-25=0，刚好开尽，得平方根35。见图4。 图8888 图88888 被开方数 初根3 减9 (即初根2) 图g998I 图웅8 次根5 平方根35 减25 减300 （即次根2) （即初根百倍) 117 ==========第120页========== 【例2】/68644=262 6'8644分三段，应得平方根整数三位。 在算盘左边第三档起拨上被开方数68644。见图1。第一段数6，只一位，心算得初根2（二二04)，拨在算盘左边第一档，6一4=2，连同第二段数86，得第一余数286。见图2。 286大于初根2的100倍，就试商5，拨在初根2的右一档，286-200（即初根2的100倍），还余86。见图3。86大于初根2的20倍，原试商5加大1变为6，再从余数86中减去初根2的20倍，还余46。见图4。 然后，从余数46中减去次根6的平方，得初根和次根26,第二余数1044。见图5。 1044小于初根和次根26的100倍，但大于26的20倍，先试商1，拨在次根6的右一档；从第二余数1044中减去26的20倍（即1044-520），还余524。见图6。 524仍大于26的20倍，再试商1（原试商1变为2)，并从余数524中减去26的20倍（即524一520)，还余4。见图70 最后，还要从余数4中减去三根2的平方，4一4=0，刚好开尽，得平方根262。见图8。 图8웅88 图888을8 被开方数 初根2减4 (即初根2) 118 ==========第121页========== 88888 图88웅8후 次根5 知1 减200 减0 (即初根百倍) (即初腰十管) 8용8888후 图궁88후 5 减36 试商1 (即次根2) 减520 (即26×20) 图3898883 图후움88 7 8 8 83 加1 平方根262 诚4 减520 （即三根2) (即26×20) 【例3】V65,1249=8,07 65.12'49分三段，应得平方根整数一位小数二位。在算盘左边第三档起拨上651249。小数点默记心里。见图1。 第一段数65心算得初根8，拨在算盘左边第一档，65一64=1,取第二段数12，得112，余数112不足初根8的20倍 119 ==========第122页========== (即160)，次根为0；再取第三段数49得11249。见图2。余数11249大于初根和次根80的100倍(8000)，先试商5,应拨在算盘左边第三档；11249一8000=3249。见图3。3249大于80的20倍(1600)，原试商5加1成6,3249-1600=1649;1649仍大于80的20倍，再加1，变为7,1649-1600=49。见图4、5。 最后，还要从余数49中减去三根72,49-49=0，刚好开尽，得平方根8.07。见图6。 图398883Σ 图옹88888을 3日 8 初根8 被开方数 减64 (即初根2) 옹용888은 图8898898 3 O 试商5 加1 减8000 减1600 (即80×100) (即80×20) 图 홍웅8 图888888 5 6 8 再加1 平方根8.07 减49 减1600 (（即三根2) 120 ==========第123页========== 【例4】求V0.4的平方根至小数二位。 0.4应添0为0.40。 在算盘左边第三档起拨上40（小数点默记心里）。见图1。从40心算得初根6，拨在算盘左边第一档，40一36=4，得余数400。见图2。 400小于初根6的100倍，但大于6的20倍，先试商1，拨在初根6的右一档，减去初根6的20倍(120)；原试商1加1，再减120，次根再加1变为3，仍减120，余40（即拨次根为3,400一6×20×3=40)。最后，还要从余数中减去次根3的平方9,40-9=31。见图3。 下段余数3100小于初根和次根63的100倍，三根不足5，舍去，得平方根0.63。 验算：.0.63×0.63+0.0031=0.4 图9898883 图88388882 被开方数 减36. (即初根2) 余400 图88988888 次根3 减360 (即6×20×3) 平方根0.63 再减9 余0,0031 （即次根2) 121 ==========第124页========== 八、利息基本算法 (一)计算利息的一般常识 银行（信用社）常要根据存（贷)款的金额和期限，按照规定的利率来计算利息，因此，存（贷）款的金额、期限和利率就是计算利息必须具备的三个因素。计算利息的基本公式是：· 利息=存（贷）款金额×期限×利率 计算存（贷)款的期限时，一般采用“算头不算尾”的办法。所谓算头不算尾，以存款来说，是从存入那一天起，算到提取存款的前一天为止，取款的那一天不算；以贷款来说，是从贷款那一天起，算到偿还贷款的前一天为止，还款的那一天不算。例如：9月4日存入的款，在9月18日提取，应从9月4日算到9月17日，期限是14天，9月18日那天不算（为计算方便，在计算时可以18一.4即得14天）。 目前的利率，一般都按月息计算，用“月%”来表示。例如：“月1.8%”表示每千元一个月的利息是一元八角（每元一个月的利息是一厘八毫)，通常称为月息一厘八。 由于存（贷）款的期限不可能都恰好是一个月，如遇不足月时，就要把月息除以30天（为计算方便，大、小月都按30天折算)，来折算零头天数的利息。 122 ==========第125页========== (二)利息的基本算法 1.定期存（贷)款的利息算法 定期存（贷)款的利息一般就按前述的基本公式（即：利息=存（贷）款金额×期限×利率)来计算。 例如：定期储蓄存款金额150元，月息二厘七，定期一年，利息的算法是： 150元×12（月数)×月2.7%（即0.0027)=4.86元说明：因按月息计算，期限一年，应折算成12月。利息的定位，可按每年每百元3元2角4分（即0.27×12）来推算(也可按连乘法在算盘上数档位的定位方法计算，下同)。又如：定期储蓄存款金额150元，去年7月28日存入，到今华1①莞16日提取，月息二厘七。利息的算法是： 首先，算出这笔定期储蓄存款的期限为1年2个月零18天，即去年？月2$日商今年9月27日为1年零2个月，也就是14个月；9月28日到10月15日是18天。然后，分别计算14个月18天的利息心 14个月的利息算式是： 150元×1（月数）×月2.7%（即0.0027）=5.67元16天的利息算式是： 10元×18（天数）×0.00009（即月2.7%0÷30）= 0.243元≈0.24元（分位以下四舍五入） 14个月零18天的利息算式是： 5.67元+0.24元=5.91元 另外，还可把14个月零18天折算成438天(14个月，每月 123 ==========第126页========== 都按30天折算，即：14×30+18)，按以下算式计算利息： 150元×438（天数)×0.00009=5.913≈5.91元以上两种算法虽然不同，但算出的利息是一样的，不过由于四舍五入的关系，有时可能出现尾差。 说明：计算定期存（贷）款的期限时，还可采用“对年对月”的办法。所谓对年就是一年的意思。例如：去年7月28日存入的款，到今年？月28日就是一年。所谓对月就是一月的意思。例如：7月23日存入的款，到8月28日就是一个月。有时存款的那一天，在到期的月份可能没有，如2月份就没有30和31日这两天，那末，1月30或31日存入的款，到2月底就算作一个月~（平月就是2月28日，国月就是2月29日为到期日)。 本例定期储蓄存款超过一年以后，到今年10月16日提取，按照对年对月的办法，从去年7月28日到今年9月28日为14个月，根据算头不算尾的原则，9月28日这一天不算在内。计算零头天数时，10月16日取款这一天也不算在内，所以从9月28日算到10月15日为18天。共计14个月零18天（或438天)。因按月息计算，零头天数（或折算成438天)的利息，就要把月息除以30天加以折算。 2.活期存（贷)款的利息算法 活期存（贷）款的利息，由于存（贷)款的金额经常变动，不能象定期存（贷)款的利息那样逐笔进行计算，一般是根据积数来计算的。所谓积数，就是把每天的存（贷）款金额相加起来的数字。积数的计算公式是： 积数=存（贷）款金额×日数 计算积数的工作是日常在活期存（贷)款的帐页上随时 124 ==========第127页========== 进行的。活期存（贷）款每季算一次利息，一般规定在每季末月(（如3、6、9和12月)的20日这一天为计息时间，叫做结息日。每到结息日，只要把各笔积数相加，·求得总积数(即积数的总和)，这个总积数，就是计算利息的金额。用积数来计算利息，是把逐天的金额累计为一天的金额，所以应把月息除以30天来折算。利息的计算公式应是： 利息=总积数×月息÷30 例如：某企业11月25日在银行开立存款户，现以该户的收付数和余额为例，说明在帐页上计算日数、积数和利息的方法如下： 利率：月1.5% 19××年 日 摘要收 入 付 出 余 额 积 数 复核月 日 证号码收或付 数 11 25 开户 10,000.00 收10,000.00心30,000.00 28 路 2,500.00 7,500.003 60,000.00 12 6 略 5,000.00 3,000.00 9,500.0011104,500.00 17 2,000.00 1,200.00 6,300.00425,200.00 219,700.00 21 利息 10.99 6,310.99 125 ==========第128页========== 说明：某企业11月25日存入10,000元，从11月25日到11月27日余额没有变动，日数是3天（在计算时可以28一25即得)，积数是：10,000元×3=30,000元。 11月28日，付出2,500元，存款余额是：10,000元-2,500元=7,500元，从11月8日到12月5日是8天（计算时可以30+6一28即得)，积数是：7,500元×8=60,000元。 12月6日和2月17日都是一天内发生两笔收付业务，应按最后余额计算积数，即：9,500元×11=104,500元；6300元×4=25,200元。 从11月25日到12月2C日〈即从开户这一天到结息日)总 日数是26天（应包括结息日这…天在内，计算时可以30+21 一25即得，.如与“日数”栏的总和-一致，就说明日常计算的日数无误)，总积数（即“积数”栏的总和)是219,700元，应填在“积数”栏的上半格，下华洛仍可填结息日以后的日数和积数。 如按月息一厘五计息，应除以30天折为0.05%（即 0.00005)。 利息=219,700元×0.00005=10.985元≈10.99元利息的定位，可按每十万元积数为5元来推算。 这种按每笔余额求得积数来计算利息的方法，就叫“余额计息法”，或叫“积数计息法”。算出的利息数一般在结息日的次日（即21日）转入帐内。 126 ==========第129页========== 九、复核多笔连续加减的简法 实际计算中，用算盘连续加诚数字的笔数常常很多，为了保证计算结果正确，算完一遍后，必须进行复算。第二遍复算的结果，如果和第一遍不符，可先算出两遍不同结果的差数，按照以下常易发生的儿种差错情况进行查算，能省力省时，很快地找出差错的原因。 1.有时常发生尾差，错在尾数，这样，就只复算尾数。如果两遍不同结果的差数是最末二位数，就重新计算最末二位数；如果是最末三位数，就重算最末三位数。 例如：连续加算20笔多位数，第一遍算出的结果是171,556.05,第二遍算出的结果是171,555.98，错在末尾三位，第三遍就只复算各数末尾三位。如第三遍复算结果与第 一遍相同，说明第一遍的结果是正确的。见例1。 2.有时常发生大小数的差错，在计算中常看错了某笔多位数的位数，如把千位数看成百位数，或把百位数看成千位数，这样，两数的差数一定能被“9”除尽。如果两遍不同结果的差数正好能被“9”除尽，就查看计算的各数，只要发现其中有一笔与差数被“9”除得的商数差10倍，很可能就是把这一笔数字看错位数了。 例如：连续加算20笔多位数，第一遍算出的结果是166,690.15,第二遍算出的结果是168,711.10，两数相差2,020.95,正好被“9”除尽，得商数224.55（即：2,020.95÷9）， 127 ==========第130页========== 这样很可能是发生错位。如果在加算的数字中，发现最后一笔数字2,245.50正好和商数差10倍，这就说明把最后一笔千位数误看成百位数加算，少算了2,020.95，第二遍的结果是正确的。见例2。 3.有时常发生漏算某笔数字的差错，只要奎看计算的各数，如发现其中有一笔正好与差数一样，很可能就漏算了那笔。 例如：连续加算20笔多位数，第一遍算出的结果是180,453.88,第二遍算出的结果是180,632,88，·两数相差179,这个数不能被“9”除尽，说明不是大小数的差错，很可能是漏算了一笔。如果在加算的数字中发现正好和差数相同的数字，就说明差错的原因是漏打了一笔179的数字，第二遍的结果是正确的。见例3。· 128 ==========第131页========== 复核连加多位数的差错方法举例： 【例1】尾差 【例2】错泣 【例3】漏算 235.86 5.82 8.36 42.38 525.8 435.62 35,341.84 9.85 89.74 8.96 83,125,19 5,763.56 872.43 且6.27 29.78 82,364.54 4,762.36 58,374.69 97.61 386.68 246.74 4,589.72 24,793.45 53.35 35.67 28.73 2,968.78 32,873.54 5,721.46 179.00 388.66 863,78 |179.00 23.27 31,482.64 48.69 4,786.93 5.89 345.63 827.85 433.76 78,584.39 3.54 5,314,67 75.65 5,978.63 29.34 893.68 24.39 8,731.16 45.94 288.78 77.98 8,459.43 77.87 1.88 54.38 +2,693.58 +2,245.50 +23,796.47 (一)正171,556.05(-)误166,690.15(一)误180,453.88(二)误171,555.98 ()正168,711.10(二)正180,632.88 差数2,020.95 差数179.00 129 ==========第132页========== 附录一、乘除公式定位法 公式定位法是以乘除各数的位数，用加、减算式来算出积数和商数位数的一种定位方法。这种定位方法，不论珠算、笔算、计算尺和计算机都适用。整数和带小数就算整数的位数，如305是三位整数，就是（+3)位，30.5算整数 二位（不管小数点后的位数)，就是（+2)位；纯小数如小数点后不带“0”的都作0位（0.3、0.305都是0位)，如小数点后带“0”的，有几个0就是负几位(0.03、0.0305都是(-1)位，0.003、0.00305都是（-2)位)。正负数加减要按照代数加减法的道理计算。 (一)乘法定位算式 前面介绍的珠算乘法数档定位法，是以乘数的位数为标准，从被乘数的个位档向右数乘数的位数，乘数是几位数，乘积的个位档就在被乘数个位的右面第几档上。如果列出定位算式就是： 被乘数的位数+乘数的位数=积数的位数 但如被乘数和乘数的头位相乘积是一位数，并且以下各位相乘结果没有进位的，积数的位数就要减去1位。 举例说明如下： 130 ==========第133页========== 4×3=12 【例1】408×300=122,400 被乘数408是（+3)位，乘数300也是（+3)位，两数头位相乘积12是二位数，不要减1，即：（+3)+(+3)=+6,积数应是整数六位数。 注：两数位数都是正号，相加得正数。 2×4=8 【例2】23×43=989 被乘数23是(+2)位，乘数43也是(+2)位，两数头位相乘积8是一位数，没有进位，要减去1位，即：（+2)十(+2)一1=+3，积数应是整数三位数。 8×6=48 . , 【例3】8.64×62.5=540 被乘数8.64是(+1)位，乘数62.5是(+2)位，两数头位相乘积48是二位数，不要减1，即：（+1)+（+2)=+3，积数应是整数三位数。 1×2=2 【例4】0.0105.×0,0028=0.0000294 被乘数0.0105是(-1)位，乘数0.0028是(-2)位，两数头位相乘积？是一位数，没有进位，要减去1位，即：(一1)+(-2)-1=-4，积数应是小数点后有四个0的纯小数。 131 ==========第134页========== 注：两数位数都是负号，相加得负数。 2×3=6 【例5】0.0002×30=0.006 被乘数0.0002是(-3)位，乘数30是(+2)位，两数头位相乘积6是一位数，没有进位，要减去1位，即：（一3）+(+2)一1=一2，积数应是小数点后有两个0的纯小数。 注：两数位数一正一负，就相减，用大数的符号，如大数的符号是正的，就得正数，如大数的符号是负的，就得负数。 7×1=7 【例6】7.5×0.014=0.105 被乘数7.5是(+1)位，乘数0.014是(-1)位，两数头位相乘积7虽是一位数，但两数以下各位相乘结果，实已进位，所以，积数的位数就不要减1，即：（+1)+（一1)=0，积数应是小数点后不带“0”的纯小数。 (二)除法定位算式 珠算除法数档定位法，是以除数的位数为标准，从被除数的个位档向左数除数的位数，除数是几位数，商数的个位档就在被除数个位的左面第儿档上。.如果列出定位算式就是： 被除数的位数一除数的位数=商数的位数 132 ==========第135页========== 但如被除数头位大于除数头位，即“够除”时，商数的位数就要加上1位。 举例说明如下： 1小于3 【例1】122,400÷300=408 被除数头位小于除数头位（即：不够除”)，不要加1，即：(+6)-(+3)=(+6)+（一3）=+3，商数应是整数三位数。 注：两数相减，可改变减数的符号，用加法计算（下同)。 9大于4 例2】989÷43=23 被涂数头位大于除数头位（即：“够除”），商数要加上1泣，即：(÷3)→(2)+1=（+3)+（-2)+1=+2，商数应是整数二位数， 5小宁6 【例350÷62.5=8.64 被镂数头位小于除数头位（即“不够除”)，不要加1，即：(+3)-(+2)=（十3）+(-2)=÷1，商数应是整数一位的带小数。 9大于8 【例4】0.0000294÷0.0028=0.0105 133 ==========第136页========== 两数头位相同，.看第二位，如被除数第二位大（即“够除”)，要加上1位，即：(-4)-（-2)+1=(-4)+(+2)+1=一1，商数应是小数点后带一个0的纯小数。 6大于3 【例5】0.006÷30=0.0002 被除数头位大于除数头位（即“够除”)，要加上1位，即（一2）-(+2)+1=(-2)+（一2）+1=-3，商数应是小数点后带三个0的纯小数。 0小于4 【例6】0.105÷0.014=7.5 两数头位相同，第二位被除数小（即“不够除”)，不要加1，即：0一（一1）=十1，商数应是整数一位的带小数。 凡位数较多的乘除法和小数除法用公式定位要比数档定位方便。运算前，用心算就能立即得到积数或商数的位数。， 134 ==========第137页========== 附录二、双珠算法 珠算进行多位数字的乘、除就比较麻烦，常易错位，如果用两个同样的算盘一上一下，根据计算尺的原理，来回拉着，只用乘法口诀就可进行复杂的多位数乘、除的运算，叫做“双珠算法”。“双珠算法”是解放后的一种新创造，既容易掌握，也能又推又快。现把双珠算法图示举例说明如下： (一)乘 法 例如：97,052×8,604=835,035,408 用档宽相同的普通算盘两个，一上一下放好，上边算盘左边空一档（即从第二档起）放乘数，·下边算盘从左边第一档起放被乘数，把上边算盘的左边对准下边算盘被乘数末位2。见图1。 上边算盘空 一档放乘数8,604 上边算盘的左边对准被乘数末位 온우888888후 2 8 下边算盘从 图1 最左档起放으 被乘数 97,05 135 ==========第138页========== 按照掉尾乘法的顺序，从乘数末位4开始向左依次乘被乘数末位2，每位乘积的个位依次放在下边算盘上，对准相应的乘数位次，乘积逢10进1（下同)，乘完得17,208，然后拨去被乘数末位2。见图2。 2メ4 08 2= 6 12 2 8 16 上边算盘的 左边对准下 동일8호8부은8Ş 边算盘被乘 数末位2 울8용후공8후공88후 美 加2×8604 =17208. 拨去2 图2 136 ==========第139页========== 向左移动上边算盘，使左边对准被乘数5，仍从乘数末位4开始乘披乘数5，依次把乘得的积数，对着位数加在下边算盘上，得447403，然后拨去被乘数5。见图3。 5 4 =620 5=× 30 5=×8 40 左移上边算盘，使左边对准被乘 후웅88888움후 数5 8388383空 5×8604 即 17208 +4302 447408 拨去5 图3 137 ==========第140页========== 再向左移动上边算盘，使左边对准被乘数7，仍从乘数末位4开始乘被乘数7；依次把乘得的积数，对着位数加在下边算盘上，得60675408，然后拨去被乘数7。见图4。 大 8 7 6 7 6 左移上边算盘，使左边对准被乘 8웅8888888888 数7 우웅웅웅웅8움8후 自子 加7×8604 即 447408 +60228 60675408 拨去7 图4 138 ==========第141页========== 最后，仍向左移动上边算盘，使记边对准被乘数头位9，仍从乘数末位4开始乘被乘数9，把梨得积数依次对着位数相加后，下边算盘就得乘积835,05,43，拨去被乘数9。积数的定位可用公式定位法，即：(÷5)位+（+4)位=（+9)位（被乘数和乘数头泣相乘积72是二位数。不要减1)。见图5。 9X 4 36 9 6 6 9+8 7 2 左移上边算盘，使左边对准被乘 후888888888 数9 鑫8. 웅우웅유우온88 t 5● 加9×8.604 60675408 +77436 积数：835,035,408拨去9 图5 139 ==========第142页========== (二)除法 除法是乘法的还原，就是把乘法倒回去，按照商除法来运算。 例如：835,035,408÷8,604=97,052 上边算盘左边空一档（即从第二档起）放除数，下边算盘左边空一档（即从第二档起）放被除数。如果被除数“够除”，上边算盘除数的头位档应对谁下边算盘的头位档；如果“不够除”，就把除数向右退一位。 本例被除数头二位数83小于除数头二位数86（即“不够除”)，应将上边算盘右移，使除数头位8对准下边算盘被除数的第二位3。见图1。 上边算盘从左边第二档起放除数 8,604 号T88838888888 . 除数头位8 对准被除数 第二位3（即 下边算盘左 边第三档) 후웅후웅8웅88을후 下边算盘从 左第二档起 汝披除数 835,035,408 图1 140 ==========第143页========== 在除数头位8的下边，被除数头位和第二位83中有8的9倍，就在被除数左一档拨上商数9，再用商数9乘上边算盘除数，依次从左到右对位减去相乘的积数，下边算盘上商数的右面还有余数60,675,408。见图2。 움8888888 8 上商9 减9×8604 (即77436)后 得余数606.75408 图2 余数头位6小于除数头位8（即“不够除”)，应把除数头位8右移一档，对准下边余数第二位0。下边60里有8的7倍，就在余数的左一档拨上商数7，依次对位减去商数7乘除数的积数，得余数447,408。见图3。 除数头位8的下边没有数字，应向右移一位。余数头位4“不够除”，把除数头位再向右移一位，对准下边余数第二位4。下边44里有8的5倍，就在余数的左一档拨上商数5，依次对位减去商数5乘除数的积数后，得余数17,208。见图49 147 ==========第144页========== 除数头位8对 8898393383383 准余数第二位 0(即下边算盘 左边第四档) 8833888983 上商7 减7×8604 (即60228)后 得余数 447,408 图3 除数头位8 8888388888988 对推余数第 二位4（即 下边算盘左 含季 边第六档) 홍웅웅을8움88웅88 上商5 减5×8604 (即43020)后 得余数17,208 图4 142 ==========第145页========== 余数头位1小于除数头位8，应把除数头位8右移一档，对准下边余数第二位7。下边17里有8的2倍，就在余数的左一档拨上商数2，依次对位减去商数2乘除数的积数后，没有余数，表示除尽，得商数97,052。用公式定位法定位，即：(+9)位-(+4)位=(+5)位（被除数头二位数小于除数头二位数，不要加1)。见图5。 除数头位，8 对淮余数第 움웅을888온888 二位7（即 下边算盘左 边第七档) 商数 减2×8604 (17208)后没有余数（除尽）商数：97,052 图5 143 ==========第146页========== 附录三、数字的写法 计算离不开数字，无论填写单据、记帐、制表等都要写数字，现将实际工作中常用的两种数字写法介绍如下： (一)在单据上用大写数字，如壹（圭）、贰（式）、叁、肆（均）、伍（径）、陛（陆）、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬（万）、亿、零、圆（元）、角、分、整（正）等，一律用正楷字填写（或如括号内易于辨认不易涂改的字样也可)。大写金额前应加“人民币”三字，金额数字中间有儿个“0”时，可只写一个“零”字（如圭万元零伍角)。元以下无角、分时，元后必须写“正”字（如圭万元正)。大写金额有角、分的，元以下不要写“正”字。为防止涂改，“拾”字前必须加填“圭”字，如圭拾元正、式佰圭拾元正、叁仟零圭拾元正等，不能写作“拾元”、“式佰拾元”、“叁仟零拾元”，以此类推。 (二)阿拉伯数字在单据、帐表上的写法，和普通写法有所不同，已经形成一定的规格，既要写得正确、整齐、清楚，又要写得避免混同，防止涂改。在帐表横格上书写时，上边要空出三分之一到一半的位置，备作改正错字之用。现将阿拉伯数字标稚字体介绍如下（供读者参考)： 阿拉伯数字写法 L234567890 144 ==========第147页========== 说明： 1.数字的写法是自上而下，先左后右。 2.斜度以六十度为准。 3.高度以帐表格的二分之一为准。 4.除7和9的上面低下半格的四分之一，下仲次行上半格的四分之一外，其他数字都要靠在底线上。 5.4的左竖，上至下半格右边线，下迄下半格左边四分之一处，中竖高度为下半格的二分之一，以防改1为4。 6.6的竖上伸上半格四分之一，防止改6为8。?,的右上略出格外，避免3改8的可能。 8,0字注意不要写小了，连写数个0时，最好不要加连接线。 用阿拉伯数字记数时，整数部分，要按“三位一节”的记数方法，由个位起，从右到左，每隔三位，用分位点(，)分开，如38,642,000，看起来就很方便。小写金额元以下，角分位数字下应划一横线，并在横线左前端（即角位数宇之前，元位数字之后)点一小数点，如陆元正应写为“6.00”，肆角伍分应写为“0.45”，伍分应写为“0.05”。 如果在帐表上写错了数字，必须把错误的数字全部划一道红（或蓝）线销去，然后重新把正确的数字写在上面，并在红（或蓝）线左端盖上玫正人的图章，绝对不允许在原错误的数字上面涂玫。 145 ==========第148页========== Ge ner all nf or ma t i on]书名=珠算基础知识作者=杨锡琪编写页数=145 SS号=11495550 出版日期=1973年05月第1版 ==========第149页========== 前言 目录 引言 常用的算盘和拨珠的方法 Ξ)常用的算盘 拨珠的方法 三、加减法 加法 减法 加减法的基本练习方法(四)加减简法 四、乘法 三)乘法口诀 乘法的定位方法(三)一位乘法 (四)二位乘法 (五)多位乘法 (六)乘法的基本练习方法(七)乘法简法 五、除法 三)除法口决 除法的定位方法(三)一位除法 (四)多位除法 (五)除法的基本练习方法(六)除法简法 六、百分比简算法 七、开平方简算法 S笔算开平方的一般方法珠算开平方的简算法 八、利息基本算法 ==========第150页========== )计算利息的一般常识 (二)利息的基本算法 九、复核多笔连续加减的简法附录一、乘除公式定位法附录二、双珠算法附录三、数字的写法 ==========第151页==========